Wo liegen die lokalen Extrema der Funktion f(x)= 3x^2 – 3x + 3?

Question

Wo liegen die lokalen Extrema folgender Funktion:

1. f(x)=( 3x^2)-3x+3

Answer 1

f(x) = 3x^2 - 3x + 3

f '(x) = 6x - 3

Extrema bei f '(x) = 0
6x - 3 = 0
x = 1/2

f(1/2) = 9/4

Das Extrema (Tiefpunkt bei einer nach oben geöffneten Parabel) befindet sich bei (1/2 | 9/4)

Comments

was wären die lokane Extrema folgender Funktionen:

f(x)= (x^3)-(3x^2)+3x-3

 

Braucht man nicht auch die 2. Ableitung dafür?

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Die 2. Ableitung ist die Hinreichende Bedingug. Auf die kann bei einer Parabel sicher Verzichtet werden, weil wir ja definitiv ein Extrema erwarten und auch schon wissen, dass es ein Minimum ist.

Wenn Du sie trotzdem einbauen willst:

f ''(x) = 6 > 0

Wir wissen daher das wir hier ein Minimum haben, da die 2. Ableitung größer als Null ist.

 

Wenn den Graphen seiner Funktion allerdings kennt, kann meist auf die 2. Ableitung verzichtet werden.

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f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 3
f '(x) = 3x^2 - 6x + 3

Extrema bei f '(x) = 0
3x^2 - 6x + 3 = 0
x^2 - 2x + 1 = 0

Hier ergibt sich x über die pq-Formel

x1/2 = 1

Wenn wir bei einer Qubischen Funktion nur einmal die Steigung von Null haben muss es ein Sattelpunkt sein.

f(1) = -2

Der Sattelpunkt liegt also bei (1 | -2)

Du kannst aber auch hier wieder die 2. Ableitung nehmen.

f '(x) = 6x - 6
Für 1 ergibt sich hier 0 also Sattelpunkt.