Produktionsfunktion eines Unternehmens lautet...

Question

Kann mir jemand mit der Lösung helfen bitte? Ich hab bereits einmal falsch beantwortet.

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F(x1,x2)=30⋅x1^0.31x2^0.23
wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 8 bzw. 9 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 792 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Markieren Sie die korrekten Aussagen.
a. Bei einem Output von 792 ME werden bei einer Menge von x1=1019.66die Kosten minimal.
b. Bei einem Output von 792 ME werden bei einer Menge von x2=195.99die Kosten minimal.
c. Der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum beträgt λ=16.70
d. Das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren beträgt x1/x2=1.52
e. Im Optimum betragen die Produktionskosten C(x1,x2)=9921.19

Answer 1

Hier eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram

Vergleiche die Ergebnisse mit denen von dir:

Das einzige was du mit dem Werten von Wolfram nicht beantworten kannst ist der Lagrange-Faktor.

Den kann ich zur Not aber auch noch mal nachrechnen.

Answer 2

Aloha :)

Da MCs Freund Wolfram den Lagrange-Multiplikator nicht berechnet, hier meine Lösung von Hand.$$C(x_1,x_2)=8x_1+9x_2\quad;\quad F(x_1,x_2)=30x_1^{0,31}x_2^{0,23}=792$$Wir stellen die Lagrange-Funktion auf und leiten ab:$$L(x_1,x_2,\lambda)=8x_1+9x_2-\lambda(30x_1^{0,31}x_2^{0,23}-792)$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_1L=8-30\cdot0,31\lambda x_1^{0,31-1}x_2^{0,23}=8-\frac{9,3\lambda}{x_1}\,x_1^{0,31}x_2^{0,23}$$$$\Rightarrow\quad\lambda=\frac{8x_1}{9,3x_1^{0,31}x_2^{0,23}}$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_2L=9-30\cdot0,23\lambda x_1^{0,31}x_2^{0,23-1}=9-\frac{6,9\lambda}{x_2}\,x_1^{0,31}x_2^{0,23}$$$$\Rightarrow\quad\lambda=\frac{9x_2}{6,9x_1^{0,31}x_2^{0,23}}$$Vor der letzen Ableitung wollen wir \(\lambda\) loswerden:$$1=\frac{\lambda}{\lambda}=\frac{8x_1}{9,3x_1^{0,31}x_2^{0,23}}\,\frac{6,9x_1^{0,31}x_2^{0,23}}{9x_2}=\frac{55,2x_1}{83,7x_2}=\frac{184x_1}{279x_2}\;\Rightarrow\;x_2=\frac{184}{279}x_1$$Damit gehen wir in die letzte Gleichung:

$$0\stackrel{!}{=}\partial_\lambda L=30x_1^{0,31}x_2^{0,23}-792=30x_1^{0,31}\cdot\left(\frac{184}{279}x_1\right)^{0,23}-792$$$$\phantom{0}=30\left(\frac{184}{279}\right)^{0,23}x_1^{0,54}-792\approx27,260912\,x_1^{0,54}-792$$$$\Rightarrow\quad x_1\approx\left(\frac{792}{27,260912}\right)^{1/0,54}\approx512,390974\quad;\quad x_2=\frac{184}{279}x_1\approx337,920929$$

Wir rechnen noch die nachgefragten Werte aus:

a) \(x_1\approx512,390974\ne1019,66\quad\text{FAIL}\)

b) \(x_2\approx337,920929\ne195,99\quad\text{FAIL}\)

c) \(\lambda\approx16,695698\approx16,70\quad\checkmark\)

d) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{279}{184}\approx1,516304\approx1,52\quad\checkmark\)

e) \(C(x_1,x_2)=7140,42\ne9921,19\quad\text{FAIL}\)