Zeigen Sie, dass die Relation auf der Menge R^{n,n} eine Äquivalenzrelation ist

Question

Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Zeigen Sie, dass die folgende Relation auf der Menge R^n,n eine Äquivalenzrelation ist:

A ∼ B ⇔ es existiert eine Permutationsmatrix P mit A = P^TBP.

Answer 1

Du musst die Eigenschaften der Permutationsmatrizen ausnutzen. Also ein Produkt von Permutationsmatrizen ist wieder eine Permutations Matrix und die Inverse ist eine Permutationsmatrix und gleich der Transponierten.

Dann folgt

(1) \( A \sim A \) weil gilt \( A = I^T A I \)

(2) Gilt \( A \sim B \) heisst das,  dass gilt \( A = P^T B P \) gilt, und damit auch \( B = (P^{-1})^T A P^{-1} \)

(3) Aus \( A \sim B \) und \( B \sim C \) folgt \( A = P^T Q^T C Q P = (Q P )^T C (QP) \)

Das wars.

Comments

Aber ich hab eine Frage,

In der Aufgabe gibt es Äquivalenz zwischen A~B und Permutationsmatrix. Wenn A~B es gilt A = P^TBP. Aber andersrum muss ich beweisen?

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Könnten Sie vielleicht die algebraischen Zwischenschritte für die (3) zeigen ?

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Wenn \( A \sim B \) gilt folgt, es ex. eine Permutationsmatrix \( P \) mit $$ A = P^T B P $$ und wenn \( B \sim C \) ex. eine Permutationsmatrix \( Q \) mit $$  B = Q^T C Q $$

Aus der ersten Gleichung folgt $$ B = (P^{-1})^T A P^{-1} $$ und daraus wegen der zweiten Gleichung $$ (P^{-1})^T A P^{-1} = Q^T C Q $$ also

$$ A = P^T Q^T C Q P  =  (QP)^T C QP $$ also \( A \sim C \)