$$f(x)=\ln(\frac{x²}{x-2})$$
Die Ableitung kannst du auf verschiedene Arten bilden.
1. Elegant:
Erst den Logarithmus umformen, dann ausnutzen, dass \(\ln x\) abgeleitet zu \(1/x\) wird.
$$f(x)=\ln(\frac{x²}{x-2})= 2\ln x - \ln(x-2)\\ \Rightarrow f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x-2}=\frac{2(x-2)-x}{x(x-2)}=\frac{x-4}{x^2-2x}$$
2. Umständlich, aber auch richtig:
Mit Kettenregel und Quotientenregel.
$$f(x)=\ln(\frac{x^2}{x-2})$$
Innere Funktion mit Quotientenregel ableiten: \(u(x)=\dfrac{x^2}{x-2} \Rightarrow u'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^2\cdot 1}{(x-2)^2}\)
Äußere Funktion ableiten: \((\ln u)'=\dfrac{1}{u}\)
$$ f'(x)=\frac{1}{(\frac{x^2}{x-2})}\cdot \frac{2x(x-2)-x^2\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)}{x^2}\cdot\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{2(x-2)-x}{x(x-2)}$$
