wir haben gerade das Lotfußpunktverfahren zum Ermitteln eines Abstands zwischen einer Geraden und einem Punkt durchgenommen. Nun sollen wir die folgende Aufgabe lösen und dabei das Lotfußpunktverfahren anwenden. Das Kreuzprodukt soll nicht verwendet werden, da wir dieses erst in der kommenden Woche besprechen.
Aufgabe:
Gegeben ist die Gerade g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \), λ ∈ ℝ.
Nun sollen alle Punkte Pi ∈ g berechnet werden, die von dem durch λ = 2 bestimmten Punkt P0 den Abstand
d = 2\( \sqrt{11} \) haben.
Problem/Ansatz:
Das Lotfußpunktverfahren an sich glaube ich verstanden zu haben. In diesem Fall soll jetzt aber kein Abstand zu einem gegebenen Punkt ermittelt werden, sondern Punkt(e) mit einem gegebenen Abstand zu einem Punkt.
Ortsvektor: \( \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \)
Richtungsvektor: \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} \)
Parameter: λ
Der durch λ=2 bestimmte Punkt P0 müsste nach meinem Verständnis also dieser sein: 2 \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\6 \end{pmatrix} \)
Man müsste das Lotfußpunktverfahren in diesem Fall sozusagen rückwärts durchführen und dabei mit dem gegebenen d = 2\( \sqrt{11} \) Abstand beginnen. Das ist allerdings der Punkt, an dem ich nicht mehr weiterkomme.
Der gegebene Abstand dürfte der Betrag bzw. die Länge des Verbindungsvektors zwischen dem Punkt P0 und der Gerade sein, aber wie kann ich damit nun arbeiten?
Hat jemand einen Tipp für mich oder bin ich hier völlig auf der falschen Fährte?
Philippus
