Analysis: Welcher Punkt hat der maximale Abstand zu einem anderen (vorgegebenen) Punkt?

Question

Hallo :) ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x³-11x²+35x-25 mit 1 ≤ x ≤ 6.

Für 1 ≤ u ≤ 5 ist P(u/f(u)) ein Punkt auf K_f. Welcher Punkt hat maximalen Abstand zu Q (1/0)?

Man darf den grafikfähigen Taschenrechner bei dieser Aufgabe benutzen. Die Lösung sollte P (2,35/9,48) sein.

Kann mir jemand bitte beim Lösungsweg helfen?

Danke :)

Answer 1

erstmal der Graph, damit man eine Vorstellung hat.

~plot~ x^3-11x^2+35x-25 ~plot~

P(u|f(u))

f(x)=x^3-11x^2+35x-25

Wir suchen jetzt die Extrempunkte. Die dürften den größten Abstand haben. Bei dem Graphen sehen wir, dass es der Hochpunkt sein muss.

Notwendige Bedingung

f'(x)=0

f'(x)=3x^2-22x+35

3x^2-22x+35=0

x1=5

x2=7/3

Jetzt schaut man, welcher der Hochpunkt ist.

hinreichende Bedingung

f''(x)<0

f''(x)=6x-22

f''(7/3)=6*(7/3)-22=-8<0 => Hochpunkt. H(7/3|(256/27))  EDIT: 256/27 entspricht 9,48. 

Jetzt mit der Formel zur Berechnung des Abstandes.

$$d=\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^{2}}\\\Delta x=\frac{7}{3}-1=\frac{4}{3}\\\Delta y=\frac{256}{27}-0=\frac{256}{27}\\d=\sqrt{\frac{4}{3}^2+\frac{256}{27}^2}\approx 9,57$$ 

Ich hoffe, das ist so richt und verständlich.

Schönen Sonntag.

Smitty

Answer 2

Nenne den gesuchten Punkt P(u|u³-11u²+35u-25) und Bestimme den Abstand f(u) von Q mit Pythagoras.Bestimme die Nullstellen von f '(u) (Achtung: Polynom 5.Grades mit der bekannten Lösung x=1, aber mit dem GTR machbar) und suche unter den drei reellen Lösungen diejenige heraus, für die der Abstand offensichtlich maximal ist.

Comments

Danke :) Wie macht man das mit dem Pythagoras? Welches Dreieck ist gemeint und was ist die Hypotenuse?

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Die Antwort steht weiter unten. Sie wurde von Georg gegeben.

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Die Antwort wurde auch von Roland gegeben.

Answer 3

Eine Verständnisfrage meinerseits :
Du weißt nicht was der Pythagoras ist und nicht
was eine Hypotenuse ?

 

Katheten : f ( x ) und ( x - 1 )
Hypotenuse = Abstand
√  ( Δy ^2 + Δx ^2 )
√  ( [ f ( x ) ] ^2 + ( x -1 ) ^2 )