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Aufgabe:

Geben Sie eine geschlossene Summenformel für

\( \sum \limits_{k=2}^{n}(k-2)(k-1) k \)

an.



Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Kann mir jemand helfen bitte..

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Wenn du die Folge ausmultiplizierst, sollte nur noch k^3 ein Problem darstellen.

3 Antworten

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Aloha :)

Das ist eine ganze Klasse von Summen, die alle ähnliche Summenformeln haben:

$$\sum_{k=0}^n k=\frac{1}{2}\,n\,(n+1)$$$$\sum_{k=1}^n (k-1)k=\frac{1}{3}\,(n-1)\,n\,(n+1)$$$$\sum_{k=2}^n (k-2)(k-1)k=\frac{1}{4}\,(n-2)\,(n-1)\,n\,(n+1)$$$$\sum_{k=3}^n (k-3)(k-2)(k-1)k=\frac{1}{5}\,(n-3)\,(n-2)\,(n-1)\,n\,(n+1)$$Also einfach ein "\((n+1)\)" dranhängen und durch die Anzahl der Faktoren dividieren ;)

Update: Induktionsbeweis wurde gewünscht.

Verankerung bei \(n=2\)$$\sum\limits_{k=2}^2(k-2)(k-1)k=0=\frac{1}{4}(2-2)(2-1)2(2+1)\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\)$$\sum_{k=2}^{n+1} (k-2)(k-1)k=\sum_{k=2}^{n} (k-2)(k-1)k\;+\;((n+1)-2)((n+1)-1)(n+1)$$$$\stackrel{(I.V.)}{=}\frac{1}{4}(n-2)(n-1)n(n+1)+(n-1)n(n+1)$$$$=\frac{n-2}{4}(n-1)n(n+1)+\frac{4}{4}(n-1)n(n+1)$$$$=\left(\frac{n-2}{4}+\frac{4}{4}\right)(n-1)n(n+1)=\frac{n+2}{4}(n-1)n(n+1)$$$$=\frac{1}{4}(n-1)n(n+1)(n+2)\quad\checkmark$$

Avatar von 152 k 🚀

Also sowas wie Induktionsschritt ?

In der Aufgabenstellung stand nur, dass du eine geschlossene Summenformel angeben sollst. Von Beweis habe ich nichts gelesen.

Brauchst du denn trotzdem einen Induktionsbeweis?

Achso nein sorry :D

Ich dachte, da du meintest das man "n+1" dranhängen soll und dann dividieren, hat es sich so angehört wie Induktionsschritt.

Also wenn ich es jetzt so ausrechnen sollte wie du es geschrieben hast, muss ich als Endergebnis "1/4 (n-2)(n-1)n(n+1)" bekommen ? :)

Ich habe in meiner Antwort den Induktionsbeweis noch ergänzt ;)

Ja, du kannst \(n\) direkt in die Summenformel eingeben, dann brauchst du die Summenglieder nicht alle einzeln zu addieren.

Du bist wirklich Super Nett Dankeschön! :)

Also durch die Induktionsschritt könnte man die geschlossene Summenformel auch herauskriegen?

Sorry das ich soviele Fragen stelle..

Zuerst musst du eine Idee haben, wie die Summenformel aussieht.

Durch die Induktion bzw. den Induktionsschritt prüfst du dann, ob deine Idee auch wirklich wahr ist, ob also die Summenformel korrekt ist. Sonst könnte ja jeder kommen und behaupten, dass seine Summenformel die richtige ist.

Achsoooo Ok ich habe es verstanden.

Vielen Vielen Danke :)

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Die Teilsummenfolge ist [0, 6, 30, 90, 210, 420, 756, 1260, 1980]. Die vierte Differenzenfolge davon ist konstant. Der Ansatz an=an4+bn3+cn2+dn+e führt auf 5 Gleichungen mit den Lösungen a=1/4, b=-1/2, c=-1/4, d=1/2,  e=0.

Avatar von 123 k 🚀
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(k - 2)·(k - 1)·k = k^3 - 3·k^2 + 2·k

Du kennst vermutlich folgende geschlossene Summenformeln

∑ (0 bis n) (k^3) = 1/4·n^2·(n + 1)^2

∑ (0 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

∑ (0 bis n) (k) = 1/2·n·(n + 1)

Ich vermute daraus kannst du dann deine geschlossene Summenformel ableiten.

Avatar von 487 k 🚀

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