Aloha :)
Das ist eine ganze Klasse von Summen, die alle ähnliche Summenformeln haben:
$$\sum_{k=0}^n k=\frac{1}{2}\,n\,(n+1)$$$$\sum_{k=1}^n (k-1)k=\frac{1}{3}\,(n-1)\,n\,(n+1)$$$$\sum_{k=2}^n (k-2)(k-1)k=\frac{1}{4}\,(n-2)\,(n-1)\,n\,(n+1)$$$$\sum_{k=3}^n (k-3)(k-2)(k-1)k=\frac{1}{5}\,(n-3)\,(n-2)\,(n-1)\,n\,(n+1)$$Also einfach ein "\((n+1)\)" dranhängen und durch die Anzahl der Faktoren dividieren ;)
Update: Induktionsbeweis wurde gewünscht.
Verankerung bei \(n=2\)$$\sum\limits_{k=2}^2(k-2)(k-1)k=0=\frac{1}{4}(2-2)(2-1)2(2+1)\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\)$$\sum_{k=2}^{n+1} (k-2)(k-1)k=\sum_{k=2}^{n} (k-2)(k-1)k\;+\;((n+1)-2)((n+1)-1)(n+1)$$$$\stackrel{(I.V.)}{=}\frac{1}{4}(n-2)(n-1)n(n+1)+(n-1)n(n+1)$$$$=\frac{n-2}{4}(n-1)n(n+1)+\frac{4}{4}(n-1)n(n+1)$$$$=\left(\frac{n-2}{4}+\frac{4}{4}\right)(n-1)n(n+1)=\frac{n+2}{4}(n-1)n(n+1)$$$$=\frac{1}{4}(n-1)n(n+1)(n+2)\quad\checkmark$$
