Bestimmen Sie alle lokalen Extrema

Question

Hallo ,

Gegeben sei die Funktion x→x² exp(-x/2)

(a) Untersuchen Sie f auf Monotonie und das asymptotische Verhalten von f (x) für x →±∞.
(b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f und geben Sie jeweils an, ob es sich um ein lokales
Maximum oder Minimum handelt.

kann jemand mir helfen..

Answer 1

f ' (x) = (2x - x^2 / 2 ) * e^(-x/2) .

Das ist 0 bei x=0 und bei x=4

Für x<0 ist f '  negativ, da fällt also die Funktion,

von 0 bis 4 steigt sie und danach fällt sie wieder.

Für x gegen -∞ geht es gegen +∞

und für x gegen +∞ geht es gegen 0

lokale Extrema können bei 0 und 4 sein.

Die 2. Ableitung liefert

f ' ' (0) = 2 > 0, also dort ein lok. Min.  und

f ' ' (4) = -2*e^(-2) <  0, also dort ein lok. Max.

Comments

eine Frage : Wie bist du auf (für x gegen +∞ geht es gegen 0) gekommen.. Danke

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Du kannst ja auch schreiben

f ' (x) =  (2x - x^2 / (2  * e^(x/2) )

Und der Nenner wächst wesentlich stärker

als der Betrag des Zählers .