Aufgabe:
Genügen folgende Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) einer lokalen oder globalen Lipschitz-Bedingung bezüglich \( x \) ? Die Antwort ist zu begründen!
(a) \( f(t, x)=\exp \left(t^{2}\right) x \)
(b) \( f(t, x)=\arctan \left(t^{2}+x\right) \).
Problem/Ansatz:
Die beiden "Bedingungen", die oben angesprochen werden, hab ich jetzt hier unten eingefügt. Im Skript haben wir nur drei weitere Lemmas besprochen, aber diese waren eher dafür da den Eindeutigkeitssatz für die Lösung einer DGL zeigen zu können. Deshalb sind wahrscheinlich nur diese beiden Definitionen gemeint (wenn nicht, bitte sagen, dann kann ich nochmal im Skript nachschauen).
Nun hab ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich meine gegebenen Funktionen auf die Lipschitz-Bedingungen prüfen soll bzw. überhaupt erfüllen. Kann mir jemand da weiterhelfen?
1. Eine stetige Funktion \( f: I × G \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) heißt lokal Lipschitz bzgl. \( x \) (\(\in G\)), falls zu jedem Punkt \( \left(t_{1}, x_{1}\right) \in I ×G \) eine Kugel \( \bar{B}_{r}\left(x_{1}\right) \) mit r > 0 und ein \( \alpha>0 \) mit \( \left[t_{1}-\alpha, t_{1}+\alpha\right] \times \bar{B}_{r}\left(x_{1}\right) \subset I ×G \), sowie eine Konstante \( L=L\left(t_{1}, x_{1}\right)\geq0 \) existieren, sodass gilt:
\( ||f(t, x)-f(t, \bar{x})|| \leq L\left(t_{1}, x_{1}\right)||x-\bar{x}||, \quad \text { falls }\left|t-t_{1}\right| \leq \alpha; x, \bar{x} \in \bar{B}_{r}\left(x_{1}\right) . \)
2. \( f \) heißt global Lipschitz bzgl. \( x \), falls die Konstante \( L>0 \) unabhängig von \( \left(t_{1}, x_{1}\right) \) ist, also:
\( ||f(t, x)-f(t, \bar{x})|| \leq L||x-\bar{x}||, \quad \) ∀\(t\in I\), ∀\(x,\bar{x} \in G\)
