Überprüfen von Relation auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

Question

Aufgabe:

Überprüfen sie die Relationen \( \varrho \subseteq N_{0} \times N_{0} \) auf Reflexivitit (bzgl. \( N_0 \)), Symmetrie und Transitivität.

(i) \( \varrho=\left\{(m, n) \in N_0 \times N_0 | m+n=2\right\} \)
(ii) \( \varrho = \{ (m, n) \in N_0 \times N_0 | \text { m und n sind durch 5 teilbar} \} \)
(iii) \( \varrho=\left\{(m, n) \in N_0 \times N_0 | \text { m=n oder }(m, n)=(2,3)\right\} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität von Relationen. Teilbar durch 5 und 'oder'.

Stichworte: relation,eigenschaften,teilbarkeit,symmetrie

1. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m und n sind durch 5 teilbar}

2. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m = n oder (m, n) = (2, 3)}

Bräuchte etwas Hilfe. Zur 1:

Reflexivität: R ist reflexiv, weil 5x = m, 5y = m. Dann ist 5x = 5y => x = y.

Symmetrie: Hier weiß ich nicht, wie ich einen Beweis führen kann. Wenn man die Elemente von R mal aufschreibt, dann fällt einem schnell auf, dass R wohl symmetrisch ist, z.B. sind (0,0), (5, 0), (0, 5), (10, 0), (0, 10) etc in R.

Transitivität: Da bin ich auch überfragt.

Zur 2: Da stört mich das "oder" in der Relationseigenschaft. Aus welchen Elementen besteht diese Relation überhaupt?

Answer 1

(a) nicht reflexiv.

3+3 = 6 ≠ 2 Daher (3,3) ∉ R

symmetrisch. (m,n) in R gdw (n,m) in R

Wenn m+n = 2, dann auch n + m = 2.

nicht transitiv. (0,2) und (2,0) in R aber (0,0) nicht in R.

0+2 = 2 und 2+0 = 2 aber 0+0 ≠ 2.

(b) und (c)

1. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m und n sind durch 5 teilbar}

2. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m = n oder (m, n) = (2, 3)}

Reflexivität: R ist nicht reflexiv, weil (1,1) nicht in R. 1 und 1 sind nicht durch 5 teilbar. 1 steht somit nicht in Relation zu 1.

Symmetrie. richtig.

Hier weiß ich nicht, wie ich einen Beweis führen kann. Wenn man die Elemente von R mal aufschreibt, dann fällt einem schnell auf, dass R wohl symmetrisch ist, z.B. sind (0,0), (5, 0), (0, 5), (10, 0), (0, 10) etc in R.

Begründung: Wenn m und n durch 5 teilbar sind, dann sind auch n und m durch 5 teilbar.

m = 5k und n = 5p ⇔ n = 5p und m = 5k

Transitivität: Wenn m und n durch 5 teilbar sind, und zudem n und k durch 5 teilbar sind, dann sind auch m und k durch 5 teilbar.

m = 5q und n = 5p, und n=5p und k=5r → m=5q und k = 5r

Comments

2. ist reflexiv. (Diagonale ist dabei)

Zur 2: Da stört mich das "oder" in der Relationseigenschaft. Aus welchen Elementen besteht diese Relation überhaupt?

nicht symmetrisch weil (2,3) in R aber (3,2) nicht in R.

Transitivität kann Neues bringen, wenn man 'anhängen' kann. Daher ist nur 2 und 3 zu prüfen.

(2,2) und (2,3)  ===> (2,3) in R ok.

(2,3) und (3,3) ====> (2,3) in R ok.

Somit ist R transitiv.

---

Ich verstehe nicht, wieso die zweite Relation jatzt Transitiv und Reflexiv ist, könntest du mir dass vielleicht Nochmal ausführlicher erklären

---

Ausführlicher als oben geht das fast nicht. Ich ergänze mal ein wenig Farbe. Du musst hier stur die definierenden Eigenschaften prüfen.

2. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m = n oder (m, n) = (2, 3)} 

2. ist reflexiv. 

Jedes Element k von Nu{0} steht zu sich selbst in Relation, da k=k, ist (k,k) Element R

Das ist gemeint mit (Diagonale ist dabei) Handelt sich um die 45° steigende Diagonale y=x im Koordinatensystem, resp. deren Gitterpunkte.

Zusätzlich zu dieser Diagonalen ist da nur noch ein Gitterpunkt (2,3) in R.

nicht symmetrisch (bezüglich Spiegelung an y=x weil (2,3) in R aber (3,2) nicht in R.

Transitivität kann Neues bringen, wenn man 'anhängen' kann. Daher ist nur 2 und 3 zu prüfen.

(2,2) und (2,3)  ===> (2,3) in R ok.

(2,3) und (3,3) ====> (2,3) in R ok.

Somit ist R transitiv