Stetigkeit einer Funktion mit zwei Variablen

Question

Aufgabe:

f(x,y) = \( \frac{x^3y}{x^4+y^2} \) fuer (x,y) ungleich (0,0) und 0 fuer (x,y) = (0,0)

Problem/Ansatz:

Wir sollen zeigen, dass die Funktion stetig im Punkt Null ist und haben als Hinweis "Youngsche Ungleichung" bekommen. Leider kann ich damit nichts anfangen.

Comments

Für alle \(x,y\in\mathbb R\) gilt \(0\le\left(x^2-\vert y\vert\right)^2\cdot\left(x^4+y^2\right)\cdot\vert x\vert\). Teilweises Ausmultiplizieren und Umsortieren liefert für \((x{,}y)\ne(0{,}0)\)
\(\frac12\vert x\vert\ge\dfrac{\vert x^3y\vert}{x^4+y^2}=\vert f(x,y)\vert\).

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Danke fuer deine Antwort, sehe irgendwie nicht genau wie du das umgeformt hast. Kannst du mir bitte einen Hinweis geben?

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Der Faktor \(x^4+y^2\) wird gar nicht benötigt.$$0\le(x^2-\vert y\vert)^2\cdot\vert x\vert\\0\le(x^4-2x^2\vert y\vert+y^2)\cdot\vert x\vert\\0\le(x^4+y^2)\cdot\vert x\vert-2\vert x\vert\cdot x^2\vert y\vert\\0\le\vert x\vert-\frac{2\vert x^3y\vert}{x^4+y^2.}$$Der Hinweis meint vermutlich die Abschätzung \(x^4+y^2\ge2x^2\vert y\vert\).