Aufgabe (Stetigkeit in mehreren Variablen):
Eine Abbildung \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) heißt linear, wenn
$$ f(a \cdot x)=a \cdot f(x), \quad f(x+y)=f(x)+f(y) $$
für alle \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \) und alle \( a \in \mathbb{R} \) gilt. Der Einfachheit halber arbeiten wir im Folgenden mit \( n=m=2 \)
(a) Verwenden Sie die obige Definition um zu zeigen, dass jede lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) stetig ist.
(b) Eine Abbildungen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) ist genau dann linear, wenn sie von der Form \( f(x)=A x \) für eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) ist. Verwenden Sie diese Charakterisierung und Satz 5.8.4, um einen weiteren Beweis dafür zu geben, dass jede lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) stetig ist.
