Mithilfe der Formel für die Summe Summen berechnen

Question

Hallo Leute. Ich bräuchte bitte bei folgenden Nummer einen kleinen Denkanstoß wie das funktionieren soll.

Vielen dank Schon im Voraus.

Text erkannt:

Mit Hilfe der Formel für die Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen und für die endliche geometrische Summe, und mit Hilfe der Rechenregeln für die Summen, berechnen Sie folgende Summen:
(a) \( \sum \limits_{k=1}^{n}(2 k) \)
(b) \( \sum \limits_{k=0}^{n-1}(2 k+1) \)

Ich weiß schon die Ergebnisse aber nicht wie ich dahinkomme.

a) n*(n+1)

b) n²

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=1}^n(2k)=2\sum\limits_{k=1}^nk=2\cdot\frac{n^2+n}{2}=n^2+n=n(n+1)$$$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(2k+1)=2\sum\limits_{k=1}^{n-1}k+\sum\limits_{k=0}^{n-1}1=2\cdot\frac{(n-1)^2+(n-1)}{2}+n\cdot1$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{n-1}(2k+1)}=n^2-2n+1+n-1+n=n^2$$Du kannst ja benutzen, dass \(\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}{2}\) gilt.

Comments

Ist die Geometrische Summe für 1 nicht n+1. warum hast du n*1 `?

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Die Summe fängt bei \(k=0\) an und hört bei \(k=n-1\) auf. Das sind genau \(n\) Summanden. Jedesmal ist der Summand eine \(1\). Daher \(n\cdot1\).