Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie jeweils, dass die angegebenen Relationen und Funktionen in der gegebenen Struktur elementar definierbar sind.
(a) Die Menge \( \mathbb{Q} \geq 0 \) in \( \left(\mathbb{R}_{\geq 0}, \cdot\right) \)
(b) Die Menge \{0,2,4\} in \( (\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z},+) \)
(c) Die Funktion ggT, die zwei Zahlen auf ihren größten gemeinsamen Teiler abbildet, in \( (\mathbb{N},+, \cdot) \)
(d) Die Konstante 2 in \( (\mathbb{N}, \cdot) \)
Problem/Ansatz: Ich kann mit der Definition für die elementare Definierbarkeit bedauerlicherweise nichts anfangen. Bei der a gehe ich davon aus, dass dies nicht elementar definierbar ist. Es existiert schließlich ein x, so dass die Wurzel aus x nicht in der genannten Struktur enthalten ist. Verstehe ich das so richtig? Wie müsste der Beweis denn formal aussehen? Bei der b) und d) bin ich mir an sich sicher, dass diese elementar definierbar sind. Ich denke bei der b) kann man quasi jede beliebige Formel nehmen, sofern man mit ganzen Zahlen arbeitet.
