Lineare Gleichungssysteme Lösungsmenge

Question

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Präsenzaufgabe 5.4 Lineare Gleichungssysteme Gegeben sei das lineare Gleichungssystem \( A x=b \) über \( \mathrm{R} \) mit
$$ A:=\left(\begin{array}{cccc} -3 & 9 & -14 & -19 \\ 2 & -6 & 9 & 13 \\ 1 & -3 & 5 & 7 \\ 2 & -6 & 5 & 6 \end{array}\right), \quad b:=\left(\begin{array}{c} -5 \\ 6 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) $$
Sie haben in verschiedenen Teams eine Lösung erarbeitet und an der Tafel stehen folgende Vorschläge für \( \mathscr{L}(A, b) \)
$$ \left\{\left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right)\right\}, \quad\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right)+\left\langle\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right\rangle, \quad\left\{\left(\begin{array}{c} -3+3 \lambda+\mu \\ -3+\mu \\ -5 \\ 3 \end{array}\right) | \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\} $$
Welche davon stimmen (ggf. teilweise), welche nicht?

 Kann mir jemand bitte zum Verständnis diese Aufgabe lösen?

Answer 1

[-3, 9, -14, -19, -5] I + 3*III
[2, -6, 9, 13, 6] II - 2*III
[1, -3, 5, 7, 2]
[2, -6, 5, 6, 5] IV - 2*III

[0, 0, 1, 2, 1]
[0, 0, -1, -1, 2] II + I
[0, 0, -5, -8, 1] III + 5*I

[0, 0, 0, 1, 3]
[0, 0, 0, 2, 6] II ist linear Abhängig

d = 3

c + 2(3) = 1 --> c = -5

b = u als freiheitsgrad

a - 3u + 5(-5) + 7(3) = 2 --> a = 3·u + 6

Damit ist eine Lösung

[3·u + 6, u, -5, 3] = [6, 0, -5, 3] + u·[3, 1, 0, 0]