Das einzige ernsthafte Problem ist die Stetigkeit bei x= -1.
Da müssen die Grenzwerte von rechts und links und
der Funktionswert an dieser Stelle gleich sein.
für x>-1 und x gegen -1 ist der Grenzwert zu untersuchen von $$( x + 1 ) \cdot e ^ { - \frac { 1 } { x + 1 } } $$
Das ist vom Typ 0*∞, könnte also mit dem Satz von de Hospital klappen, also erst mal auf geeignete Form bringen:
$$\frac { e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }}{ \frac {1}{x+1} } $$
Dann Zähler und Nenner ableiten
$$\frac{\frac { - e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }} {(x+1)^2}} {\frac{-1}{(x+1)^2}}= e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }$$
und für x gegen -1 und x > -1 geht das gegen 0.
Also muss das t so gewählt werden, dass (2t+3)*x
für x=-1 auch 0 ergibt
(2t+3)*(-1) = 0
<=> -2t - 3 = 0
<=> t = -3/2