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Aufgabe: 

Bestimmen Sie den Parameter t ∈ R so, dass die folgende Funktion stetig ist:

$$ f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \quad \text { mit } \quad f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 1 ) \cdot e ^ { - \frac { 1 } { x + 1 } } } & { \text { für } \quad x > - 1 } \\ { ( 2 t + 3 ) \cdot x } & { \text { für } x \leq - 1 } \end{array} \right. $$

Problem/Ansatz:

Ich bin gerade dabei mir den Definitionsbereich (-1,+∞) anzusehen. Soweit ich weiß sind die beiden Faktoren jeweils elementar. Falls man so eine Aussage nicht treffen kann, wie könnte die Stetigkeit im Intervall am besten zeigen.

Vielen Dank.

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Die Frage hat sich erledigt durch Multiplikation zweier stetiger Funktionen.

1 Antwort

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Das einzige ernsthafte Problem ist die Stetigkeit bei x= -1.

Da müssen die Grenzwerte von rechts und links und

der Funktionswert an dieser Stelle gleich sein.

für x>-1 und x gegen -1 ist der Grenzwert zu untersuchen von $$( x + 1 ) \cdot e ^ { - \frac { 1 } { x + 1 } }  $$

Das ist vom Typ 0*∞, könnte also mit dem Satz von de Hospital klappen, also erst mal auf geeignete Form bringen:

$$\frac  {  e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }}{ \frac {1}{x+1}  } $$

Dann Zähler und Nenner ableiten

$$\frac{\frac { - e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }} {(x+1)^2}}  {\frac{-1}{(x+1)^2}}= e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }$$

und für x gegen -1 und x > -1 geht das gegen 0.

Also muss das t so gewählt werden, dass (2t+3)*x

für x=-1 auch 0 ergibt

(2t+3)*(-1) = 0

<=>  -2t - 3 = 0

<=>    t = -3/2

Avatar von 289 k 🚀

L'hospital ist nicht von nöten, denn lim x -->(-1)+   e^(-1/(x+1))="e^(-+∞)"=0

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