Matrix als Produkt von Elementarmatrizen, sodass in gauß normalform vorliegt

Question

kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe bitte helfen?

Gegeben ist die Marix A=

3i	1+i
9i	3+3i

ich soll jetzt 2 Matrizen bestimmen, sodass S*A*T in Gauß normalform ist.

Mein gedanke war, dass ich versuche A als Produkt von Elementarmatrizen zu schreiben, aber das führt irgendwie nicht zum richtigen Ergebnis, wenn ich von links multipliziere ist es ja eine Spaltenoperation und von Rechts eine Zeilenoperation. Als Zeilenoperation hätte ich Q²₁   

(-3) gemacht.

vllt kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}3 \; ί&1 + ί\\9 \; ί&3 + 3 \; ί\\\end{array}\right)\)

Ist das richtig?

\(S \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\-3&1\\\end{array}\right)\) und  \(T \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{3 \; ί}&-\frac{\left(1 + ί \right)}{3 \; ί}\\0&1\\\end{array}\right)\)

dann

\(S \; A = \left(\begin{array}{rr}3 \; ί&1 + ί\\0&0\\\end{array}\right)\) 

\(S \; A \; T = \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&0\\\end{array}\right)\)

Wie ist das jetzt mit den Zeilen- und Spaltenoperationen?

Ist das das gewünschte Ergebnis?

Comments

unsere lsg sagt, dass S sich zusammensetzt aus

-i/3	0
0	1

 *

1	0
-3	1

und T=

1	-1+i/3
0	1

, deine matrizen sind ja fast das selbe, wie kommt man auf diese?

Liebe Grüße

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Du definierst Zeilenoperationen

\(S \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\a&1\\\end{array}\right) \)

was im Klatext heißt: 1. Zeile mit a multiplizieren und zu Zeile 2 addieren (in der ersten Spalte definierst Du die Operationen der Zeilen)

\(S\;A=\left(\begin{array}{rr}3 \; ί&1 + ί\\3 \; ί \; a + 9 \; ί&\left(1 + ί \right) \; a + 3 + 3 \; ί\\\end{array}\right)\)

a muss so gewählt werden a=-3, dass unten links \(a_{21}=0\) entsteht.

Du könntest

\(S \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{3 \; ί}&0\\-3&1\\\end{array}\right)\)

wählen und damit gleich \(a_{11}=1\) setzen - hab ich mit T gemacht.

Analog mit den Spalten von rechts...

Danke für die Punkte :-)