Matrix als Produkt von Elementarmatrizen

Question

  Schreiben Sie die Matrix
$$ A:=\left(\begin{array}{llll} {1} & {6} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {3} & {0} & {0} \\ {2} & {6} & {0} & {1} \end{array}\right) $$
als Produkt von Elementarmatrizen.

Wie schreibe Ich das nun richtig auf ? Jedoch weiß ich nicht wie ich das richtig notiere

Ich würde die wenn es eine Einheitsmatrix wäre nun

die

Z₁+6*Z₂

Z₂-Z₂+Z₃

Z₃-Z₃+3*Z₂

Z₄ +2*Z₁+6*Z₂

Jedoch weiß ich nicht wie ich das richtig notiere... :/

Answer 1

Du kannst doch durch elementare Umformungen die Matrix auf die

Einheitsmatrix umformen und machst dann alles wieder rückwärts.

Allerdings musst du dann die el. Umformungen durch

die Multiplikation mit Elementarmatrizen ersetzen, etwa so:

(       1  6  0  0

         0  0  1  0     2. und 3. Zeile vertauschen

         0  3  0  0

         2  6  0  1 )

( 1  6  0  0

         0  3  0   0

         0  0   1  0

         2  6  0  1 )    4. Zeile + (-2)* 1. Zeile

( 1  6  0  0

         0  3  0   0

         0  0   1  0

         0  -6  0  1 )    4. Zeile + 2* 2. Zeile

( 1  6  0  0  1. Zeile +  -2* 2. Zeile

         0  3  0   0

         0  0   1  0

         0  0    0  1 )  

( 1  0  0  0 

         0  3  0   0   2. Zeile *(1/3)

         0  0   1  0

         0  0    0  1 )
gibt Einheitsmatrix E.
alles rückwärts, also zuerst
bei E   2. Zeile * 3, das erreicht man durch
Multiplikation mit der Elementarmatrix
1  0  0  0
0  3  0  0           Matrix A
0  0  1  0
0  0  0  1
Dann 1. Zeile + 2* 2. Zeile, also nächste Matrix
1  2  0  0
0  1  0  0         Matrix B
0  0  1  0
0  0  0  1
und mit B*A hast du jetzt schon den vorletzten
Schritt von dem Hinweg, das war:

       ( 1  6  0  0 

         0  3  0   0

         0  0   1  0

         0  0    0  1 ) 
also nächstes musst du den Schritt
4. Zeile + 2* 2. Zeile rückgängig machen, also
4. Zeile + (-2)* 2. Zeile rechnen, das wäre durch den
Faktor C zu erreichen, das sähe dann so aus
1  0  0  0
0  1  0  0         Matrix C
0  0  1  0
0  -2  0  1
und mit C*B*A hast du dann schon  
     ( 1  6  0  0

         0  3  0   0

         0  0   1  0

         0  -6  0  1 )  
usw.