Vollständige Induktion/Anordnungsaxiome

Question

Aufgabe zum Thema Anordnungsaxiome (Übungsbuch zu An.1 von O. Forster).

Ich habe mich für einen Beweis durch vollständige Induktion entschieden.

Leider ist im Buch keine Lösung angegeben.

Man beweise folgende Aussage:

Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \), nicht negative reelle Zahlen. Dann gilt:
\( \prod \limits_{i=l}^{n}\left(1+a_{i}\right) \geq 1+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \)
Induktionsanfang: \( n=0 \quad \) Das leere Produkt hat den Wert 1, die leere Summe den Wert \( 0 . \) Also gilt \( 1 \geq 1 \).

Induktionsschritt: \( n \longrightarrow n+1 \)
\( \prod \limits_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)=\prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)\left(1+a_{n+1}\right) \)
\( \geq\left(1+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(1+a_{n+1}\right) \)
\( =1+a_{n+1}+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}+a_{n+1} \sum \limits_{i=l}^{n} a_{i} \)
\( \geq 1+a_{n+1}+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \)
\( =1+\sum \limits_{i=1}^{n+l} a_{i} \)

Leider bin ich mir nicht sicher, ob die von mir getroffene Abschätung in (4) zulässig ist.

Answer 1

Das stimmt soweit, da die \(a_{i}\) alle größer als 0 sind, kannst du den positiven Summanden weglassen und machst den Term dadurch kleiner, der Beweis ist somit rchtig

Answer 2

Deine Abschätzung in (4) ist mE ok, da a1,.... nichtnegative Zahlen sind. Das kannst du noch dazuschreiben.

Aber:

Mach die Verankerung für n=1. Mit n=0 hast du keine gescheite Ausgangslage um auf n=1 zu kommen.

und: Es heisst reelle Zahlen.

Comments

Meinst Du damit, dass ich den Induktionsanfang für n=1 machen soll?

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Ja.

So hast du links 1 + a1 und rechts auch 1 + a1.

Anders beginnst du ja bei nichts.