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Aufgabe:

Sei A ∈ M (l × m,K)  und  B ∈ M(m × n,K).  Zeigen Sie, dass dann

rang(A) + rang(B) − m ≤ rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B)} gilt.

(Betrachtung der Matrizen als Lineare Abbildung und Verwendung der Dimensionsformel für  A:= A|Bild(B).)

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Verwende den Tipp:  Zu den Matrizen a und B gehören die linearen

Abbildungen fA : ℝ^m → ℝ^l   und fB : ℝ^n → ℝ^m

Und zu A*B gehört die  Verkettung fA o fB also fA nach fB ,

das sieht dann so aus

                           fB                       fA
              ℝ^n       →        ℝ^m       →       ℝ^l

Nun kann ja fA nur angewendet werden auf Elemente von Bild(B),

daher der Tipp mit der Einschränkung auf Bild(B). Also sieht es so aus:

                           fB                          fA|B
              ℝ^n       →        Bild(B)        →       ℝ^l  

Die Dimension von Bild(B) ist ja rang(B) und somit lautet die

Dimensionsformel für den 2. Teil

               rang(fA|B)  =   dim ( Bild(B)) - dim ( Kern ( fA|B)

                                 =    rang(B) - dim ( Kern ( fA|B)   ≤  rang(B)

Andererseits ist aber  rang( fA|B )   = dim (Bild(fA|B) = rang (A*B) .

Andererseits ist natürlich  rang( fA|B ) ≤  rang(A) weil die eingeschränkte

Abbildung als Bild nur eine Teilmenge des Bildes der gesamten Abbildung ist.

Damit hat man schon mal   rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B)} .

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