Verwende den Tipp: Zu den Matrizen a und B gehören die linearen
Abbildungen fA : ℝ^m → ℝ^l und fB : ℝ^n → ℝ^m
Und zu A*B gehört die Verkettung fA o fB also fA nach fB ,
das sieht dann so aus
fB fA
ℝ^n → ℝ^m → ℝ^l
Nun kann ja fA nur angewendet werden auf Elemente von Bild(B),
daher der Tipp mit der Einschränkung auf Bild(B). Also sieht es so aus:
fB fA|B
ℝ^n → Bild(B) → ℝ^l
Die Dimension von Bild(B) ist ja rang(B) und somit lautet die
Dimensionsformel für den 2. Teil
rang(fA|B) = dim ( Bild(B)) - dim ( Kern ( fA|B)
= rang(B) - dim ( Kern ( fA|B) ≤ rang(B)
Andererseits ist aber rang( fA|B ) = dim (Bild(fA|B) = rang (A*B) .
Andererseits ist natürlich rang( fA|B ) ≤ rang(A) weil die eingeschränkte
Abbildung als Bild nur eine Teilmenge des Bildes der gesamten Abbildung ist.
Damit hat man schon mal rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B)} .