Der Rang bei Komposition

Question

Sei A ∈ M(l × m, K) und B ∈ M(m × n, K). Zeigen Sie, dass dann
rang(A) + rang(B) − m ≤ rang(AB) ≤ min{rang(A),rang(B)}
gilt. Unter welcher Bedingung gilt jeweils Gleichheit?
Hinweis: Betrachten Sie die Matrizen als lineare Abbildungen und verwenden Sie die Dimensionsformel
für  A˜ := A|Bild(B)

Hat mir jemand einen Tipp wie mit diesem Hinweis umzugehen ist, tatsächlich verwirrt dieser mich eher als mir zu helfen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Rang von Matrizen bei Komposition:Ungleich. zeigen

Stichworte: rang,komposition,kern,matrix,determinante

Leute! Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich sie beweisen muss...

Ich habe die Aufgabe schon in einem anderen Forum gestellt, aber da antwortet leider keiner... Die Aufgabe uund Frage war: 
n

---

Ich will ja nix zu den Schreibregeln sagen, weil die eh keinen interessieren, aber

parst bei mir nicht.  [Pause] Ok, jetzt hat's doch geparst. Die Frage ist jetzt, ob Du das auch gebacken kriegst. Also, was heisst das?

---

Könnte das nochmals das hier sein:

https://www.mathelounge.de/545247/der-rang-bei-komposition

?

Answer 1

Folge dem Tipp und betrachte eine zu A gehörige lin. Abb.   g:V → W dann

gilt  rang(g) + dim(Kern(g)) = dim(V) = m.

Und eine zu B gehörige lin. Abb.   f : T ---> V  , für die gilt dann:

                 rang(f) + dim(Kern(f))  = dim(T)   #

Weiter gilt für gof dann, weil das von T nach W geht:

                    rang(gof) + dim(Kern(gof)) = dim(T)    mit # also

                                                       =     rang(f) + dim(Kern(f))

bzw.    rang(gof) =   rang(f) + dim(Kern(f))  -  dim(Kern(gof))   ##

Nun ist aber Kern(fog) ⊆ Kern(f)  ; denn wenn etwas von f

auf 0 abgebildet wird, dann wird es durch gof auf g(0) = 0 abgebildet.

also gilt auch  dim(Kern(gof)) ≤ dim(Kern(f))  und damit

   rang(f) -    rang(gof)  ≥  0

Also liefert ##    rang(gof) ≤  rang(f) .

Und mit dem 2. Tipp bekommst du auch rang(gof) ≤ rang(g)

und damit hast du den hinteren Teil  deiner Ungleichung schon mal bewiesen.

=     rang(f) + dim(Kern(f))