Die Lie Algebra der quadratischen Matrizen

Question

Wir betrachten den Vektorraum M(n, K) der n × n-Matrizen. Zeigen Sie, dass dieser durch die
Verknüpfung [  · , · ] : M(n, K) × M(n, K) → M(n, K), (A, B) 7→ [A, B] := AB − BA (genannt Lie Klammer
oder Kommutator) zu einer Lie-Algebra wird, d.h. für alle A, B, C ∈ M(n, K), α, β ∈ K
gilt:
(i) [ · , · ] ist bilinear, d.h. [αA+βB, C] = α[A, C]+β[B, C] und [A, αB+βC] = α[A, B]+β[A, C],
(ii) [A, A] = 0,
(iii) und es gilt die Jakobi-Identität [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0.

Hat mir jemand einen Tipp oder eine Idee wie ich diese Aufgabe lösen kann? Habe bis jetzt keine Ahnung wie an die Aufgabe ran zugehen ist

Answer 1

du sollst die gegebenen Regeln überprüfen. Dazu rechnet man jeweils die linke Seite der Gleichung aus und versucht zur rechten Seite umzuformen. Das ist eigentlich nur Schreibarbeit ;).

Comments

okay danke, aber wie forme ich i) um , also wie zeige ich die Bilinearität?

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[aA+bB,C]=(aA+bB)C-C(aA+bB)

=aAC - CaA+bBC-CbB

=a(AC-CA)+b(BC-CB)

=a[A,C]+b[B,C]

Hierbei wurden die Rechenregeln für Matrizen verwendet.