Kann mir bitte jemand bei Folgendem helfen? Danke!
1. Sei \( A \in \mathcal{S}^{n} \) und \( B \in \mathbb{R}^{n \times n} \) invertierbar. Man zeige: \( A \succ 0 \Longleftrightarrow B^{T} A B \succ 0 \). Gilt auch \( B^{-1} A B \succ 0 \) ?
2. Seien \( A, B \in \mathcal{S}^{n}, A \succ 0 \) und \( 0 \neq B \succeq 0 \). Man zeige: \( A \bullet B>0 \).
3. Sei \( B \succeq 0 \) und \( B=U D U^{T} \) eine Eigenwertzerlegung von \( B \) und \( B^{1 / 2}:=U D^{1 / 2} U^{T} \), wobei die Wurzel aus der Diagonalmatrix \( D \) komponentenweise gebildet werde. Man zeige: \( B^{1 / 2} \) hängt nicht von der speziellen Wahl von \( U \) und \( D \) ab.
4. Seien \( A, B \subset \mathbb{R}^{n} \) Teilräume. Man zeige \( (A \cap B)^{\perp}=A^{\perp}+B^{\perp} \).
5. Sei \( \mathcal{A}: \mathcal{S}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) eine lineare Abbildung. Man zeige: \( \operatorname{Ker}(\mathcal{A})^{\perp}=\mathrm{R}\left(\mathcal{A}^{*}\right) \). ("Ker" bezeichne den Nullraum und "R" den Bildraum.)
6. Zu einer Matrix \( A \in \mathcal{S}^{n} \) wird eine Haupt-Untermatrix durch Auswahl einer Teilmenge \( I=\left\{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}\right) \) von \( \{1,2, \ldots, n\} \) mit \( k \leq n \) bestimmt. Die Haupt-Untermatrix besteht dann aus den Zeilen und Spalten von \( A \), die zu \( I \) gehören (in aufsteigender Reihenfolge). Falls \( I=\{1,2, \ldots, k\} \) mit \( k \leq n \) so ergibt sich eine "führende Haupt-Untermatrix".
Wie viele verschiedene Haupt-Untermatrizen gibt es?
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (Ohne Beweis)
a) \( A \succ 0 \Longleftrightarrow \) alle Haupt-Untermatrizen sind positiv.
b) \( A \succ 0 \Longleftrightarrow \) alle führenden Haupt-Untermatrizen sind positiv.
c) \( A \succeq 0 \Longleftrightarrow \) alle Haupt-Untermatrizen sind nicht-negativ.
d) \( A \succeq 0 \Longleftrightarrow \) alle führenden Haupt-Untermatrizen sind nicht-negativ.
