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Aufgabe:

Berechnen Sie die die Taylor-Entwicklung der Funktion
f : ℝ>0 × ℝ>0 → ℝ , f (x, y) = \( \frac{x-y}{x+y} \)
bezüglich des Entwicklungspunktes (2, 2) bis einschließlich zur 2. Ordnung.

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Hallo

Hast du dir die Formel für die T'R in 2d aufgeschrieben, alle ersten und zweiten Ableitungen and er Stelle (2,2)

 Was genau kannst du dann nicht? wie für uns auch ist das meiste Schreibarbeit.

Gruß lul

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Aloha :)

Aus den partiellen Ableitungen$$f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}\quad\Rightarrow\quad f(2,2)=0$$$$f_x(x,y)=\frac{2y}{(x+y)^2}\quad\Rightarrow\quad f_x(2,2)=\frac{1}{4}$$$$f_y(x,y)=-\frac{2x}{(x+y)^2}\quad\Rightarrow\quad f_y(2,2)=-\frac{1}{4}$$$$f_{xx}(x,y)=-\frac{4y}{(x+y)^3}\quad\Rightarrow\quad f_{xx}(2,2)=-\frac{1}{8}$$$$f_{yx}(x,y)=\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}\quad\Rightarrow\quad f_{yx}(2,2)=0$$$$f_{yy}(x,y)=\frac{4x}{(x+y)^3}\quad\Rightarrow\quad f_{yy}(2,2)=\frac{1}{8}$$erhalten wir die gesuchte Taylor-Entwicklung

$$f(x,y)=f(2,2)+f_x(2,2)\cdot(x-2)+f_y(2,2)\cdot(y-2)$$$$\quad+\frac{1}{2}f_{xx}(2,2)\cdot (x-2)^2+f_{yx}(2,2)\cdot(x-2)(y-2)+\frac{1}{2}f_{yy}(2,2)\cdot(y-2)^2$$$$\quad=\frac{1}{4}\cdot(x-2)-\frac{1}{4}\cdot(y-2)-\frac{1}{16}\cdot(x-2)^2+\frac{1}{16}\cdot(y-2)^2$$$$\quad=\frac{x-y}{2}+\frac{y^2-x^2}{16}$$

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