Korrelationskoeffizient berechnen: Die Tabelle zeigt die Noten (aus 20) der Mathe und Biologie von 6 Studenten

Question

Die Tabelle zeigt die Noten (aus 20) der Mathe und Biologie von 6 Studenten.

Mathe	10	17	10	17	4	5
Biologie	17	8	17	9	12	18

Berechnen Sie Korrelationskoeffizient zwischen zwei Variablen und interpretieren Sie ihn

Answer 1

Der empirische Korrelationskoeffizient wird berechnet durch die Formel:

$$KOR(x,y)=\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ ({ x }_{ i }-\overline { x } ) } ({ y }_{ i }-\overline { y } ) }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { ({ x }_{ i }-\overline { x } ) }^{ 2 } } *\sum _{ i=1 }^{ n }{ { ({ y }_{ i }-\overline { y } ) }^{ 2 } }  }  }$$

Angewendet auf deine Aufgabe:

$$KOR(Mathe,Bio)=\frac { \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (Mathe_{ i }-\overline { Mathe } ) } ({ Bio }_{ i }-\overline { Bio } ) }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { (Mathe_{ i }-\overline { Mathe } ) }^{ 2 } } *\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { ({ Bio }_{ i }-\overline { Bio } ) }^{ 2 } }  }  }$$

Dabei sind \(\overline { Mathe } \) bzw. \(\overline { Bio }\) die Mittelwerte der Mathe-bzw. Bio-Noten, also:

$$\overline { Mathe } =\frac { 10+17+10+17+4+5 }{ 6 } =\frac { 63 }{ 6 } =10,5$$$$\overline { Bio } =\frac { 17+8+17+9+12+18 }{ 6 } =\frac { 81 }{ 6 } =13,5$$

Setzt man die gegebenen Werte ein, erhält man:

$$KOR(Mathe,Bio)=\frac { (10-10,5)(17-13,5)+(17-10,5)(8-13,5)+(10-10,5)(17-13,5)+(17-10,5)(9-13,5)+(4-10,5)(12-13,5)+(5-10,5)(18-13,5) }{ \sqrt { { \left( 10-10,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 17-10,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 10-10,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 17-10,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 4-10,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 5-10,5 \right)  }^{ 2 })*({ \left( 17-13,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 8-13,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 17-13,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 9-13,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 12-13,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 18-13,5 \right)  }^{ 2 }) }  }$$$$=\frac { (-0,5)(3,5)+(6,5)(-5,5)+(-0,5)(3,5)+(6,5)(-4,5)+(-6,5)(-1,5)+(-5,5)(4,5) }{ \sqrt { { \left( -0,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 6,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( -0,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 6,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( -6,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( -5,5 \right)  }^{ 2 })*({ \left( 3,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( -5,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 3,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( -4,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( -1,5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 4,5 \right)  }^{ 2 }) }  }$$$$=\frac { -83,5 }{ \sqrt { 157,5*97,5 }  }$$$$=\frac { -83,5 }{ 123,92 }$$$$=-0,674$$(korrigiert nach Hinweis durch sigma)

Die Interpretation überlasse ich nun erst einmal dir ...

Comments

$$Kor \approx \frac{-83,5}{123,92} \approx -0,6738$$

Aus diesem Grund lasse ich solche Aufgaben immer den PC rechnen. Ein kleiner Fehler kann selbst im letzten Schritt passieren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=covariance+%5B%7B10%2C17%2C10%2C17%2C4%2C5%7D%2C%7B17%2C8%2C17%2C9%2C12%2C18%7D%5D%2Fsqrt%2863%2F2*39%2F2%29

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Na, da muss ich mich wohl beim Eintippen in den TR vertan haben.

Offenbar habe ich 87,5 / 123,92 gerechnet. Ich werde es in meiner Antwort korrigieren.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit!