Aloha :)
Wenn jemand eine Formel auswendig lernen muss, hat er sie nicht verstanden.
Gegeben sind zwei gleich große Messreihen \((x_1;\ldots;x_n)\) und \((y_1;\ldots;y_n)\). Um die Schwankungen der beiden Messreihen vergleichen zu können, subtrahieren wir von jedem Messwert einer Messreihe den jeweiligen Mittelwert der Messreihe und tragen die Ergebnisse in Vektoren ein:$$\vec x\coloneqq\begin{pmatrix}x_1-\overline x\\\vdots\\x_n-\overline x\end{pmatrix}\quad;\quad\vec y\coloneqq\begin{pmatrix}y_1-\overline y\\\vdots\\y_n-\overline y\end{pmatrix}$$Die Komponenten beschreiben jetzt die Schwankungen um die Null herum.
Der Korrerlationskoeffizient ist der Cosinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren:$$\cos\angle(\vec x;\vec y)=\frac{\vec x\cdot\vec y}{\|\vec x\|\cdot\|\vec y\|}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)\cdot(y_i-\overline y)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2}}$$
Damit ist sofort klar, dass der Korrelationskoeffizient im Intervall \([-1;1]\) liegt.
Deine Formel verschleiert diesen einfachen Zusammenhang nahezu perfekt. Sie ist aber dennoch richtig. Den Zähler kannst du direkt umformen:$$Z=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)\cdot(y_i-\overline y)=\sum\limits_{i=1}^n(x_iy_i-\overline xy_i-x_i\overline y+\overline x\,\overline y)$$$$\phantom Z=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline x\cdot\underbrace{\sum\limits_{i=1}^ny_i}_{=n\overline y}-\overline y\cdot\underbrace{\sum\limits_{i=1}^nx_i}_{=n\overline x}+\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n \overline x\,\overline y}_{=n\,\overline x\,\overline y}=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-n\,\overline x\,\overline y$$
Die Umformung des Nenners ist nun geschenkt, denn du brauchst ja in der vorigen Rechnung nur \(y\) durch \(x\) oder umgekehrt zu ersetzen:$$N=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-n\,\overline x^2}\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^ny_i^2-n\,\overline y^2}$$
Ich würde mir niemals irgendeine Formel zu Korrelationskoeffizienten merken, sondern habe das Bild mit den beiden Vektoren im Kopf, deren Ähnlichkeit darüber gemessen wird, die groß der Winkel zwischen ihnen ist.
