Symmetrische Matrix diagonalisieren

Question

Ich habe diese Matrix gegeben. Ich nenne sie mal A :=

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{lll}1 & 7 / 12 & 5 / 12 \\ 7 / 12 & 1 / 3 & 17 / 12 \\ 5 / 12 & 17712 & 1 / 6\end{array}\right) \)

Ich soll nun eine invertierbare Matrix T so bestimmen, das T^t A T diagonal ist. Ich weiss das man da die Einheitsmatrix dazu schreibt (wie beim Invertieren) und mit Zeilen und zugleich Spaltenumformungen diese bestimmen kann, jedoch verwirrt mich das. Kann mir jemand helfen?

Comments

Bitte verzichte auf Formulierungen wie "ich soll..." und poste die Aufgabenstellung im Original (generell!).

Diese Matrix hat "krumme" Eigenwerte, das macht eine Lösung von Hand schwierig.

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Diese Matrix hat "krumme" Eigenwerte

Nach Eigenwerten ist nicht gefragt.

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Ja, klar. Orthogonale Diagonalisierung fiel mir als erstes ein. Wenn ohne EWe, dann ist T also nicht orthogonal....

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Hallo Nudger

zuerst einmal nehme ich Deine Kritik an und versuche das nächste mal, direkt die Aufgabe reinzuschreiben.

Nun zu Deiner Interpretation.

Es geht hier tatsächlich nicht um eine orthogonale Diagonalisierung (Hauptachsentransformation) oder die gewöhnliche Diagonalisierung. Das Thema ist hier, die Diagonalisierung via Kongruenz bzw. die Diagonalisierung symmetrischer Bilinearformen. Hier stehen bei der Diagonalmatrix keine Eigenwerte und die Matrix T ist auch nicht zwingend ortogonal. Da A ja symmetrisch ist, kann man das Primzip der Diagonalisierung via Kongruenz hier anwenden, indem man eine Basis des zugehörigen Raumes findet, in der die Beziehung T^t A T = D gilt und D eine Diagonalmatrix ist. Also Eigenwerte brauchen wir hier keinesfalls. Die Methode ist es ja, das man die Matrix A wie beim Gauss-Jordan-Invertierungsverfahren mit der Einheitsmatrix zusammensetzt und dann mit Umformungen arbeitet. Jedoch unterscheiden sich diese Umformungen, da man hier Zeilen und Spaltenumformumgen zugleich macht. Das ist das Problem, wo es bei mir hakt…

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Dann handelt es sich hier anscheinend um die Sylvester-Normalform, die gesucht ist. In der Regel machst du erst die Zeilenumformung und dann danach die entsprechende Spaltenumformung. Wo hakt es denn genau?

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Also muss ich da einfach z.B. als erstes -7/12 mal die erste Zeile + die zweite Zeile und dann dasselbe bei der ersten und zweiten Spalte machen?

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Ja genau. Beides "gleichzeitig" funktioniert ja in diesem Sinne nicht.

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Verstehe. Ja mein Problem war bischen die Technik dahinter, aber das macht jetzt Sinn. Ich danke Dir.

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@Txman danke für die Erläuterung. Durch die Bemerkung von Arsinoé4 dachte ich mir schon, dass es so gemeint ist.

Answer 1

Ich verweise an dieser Stelle einmal auf diese Frage, wo du auch zwei hilfreiche Links findest: https://www.mathelounge.de/1082412/bestimmen-sie-eine-basis-vec-v1-vec-v2-vec-v3-des-r-3

Ein weiteres Beispiel findest du hier: https://www.math.uni-bielefeld.de/~zink/PKlLAM4.pdf

Wie gesagt, dieses Verfahren mit den simultanen Umformungen findet man bei der Bestimmung der Sylvester-Normalform und dafür sind in der Tat keine Eigenwerte notwendig.

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Ich danke Dir!