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Aufgabe:

Betrachten Sie den Rotationskörper, der sich bei Rotation der Kurve \( f(z)=\frac{1}{z} \) um die z-Achse ergibt, wobei \( 1 \leq z \leq \infty \) ist (unendich lange Trompete).

Dieser Rotationskörper hat eine verblüffende Eigenschaft:
a) Berechnen Sie das Gesamtvolumen
b) Berechnen Sie die Gesamtoberfläche. (Tipp: Sie benötigen hier wahrscheinlich eine unendliche genaue Abschätzung)

 Bei dieser Aufgabe komme ich leider absolut nicht weiter..

Für Tipps oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!


Und mich würde sehr interessieren was die verblüffende Eigenschaft ist von welcher in der Aufgabenstellung die Rede ist.

Vielen Dank im Voraus!

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Beste Antwort

Die verblüffende Eigenschaft ist, dass er ein endliches Volumen hat obwohl er unendlich lang ist.

a) Berechnen Sie das Gesamtvolumen

Das Volumen des Rotationskörpers ist

        \(\int_1^\infty \pi\cdot \left(\frac {1}{z}\right)^2\mathrm{d}z\)

gemäß der Formel

        \(V = \int_a^b \pi\cdot \left(f(x)\right)^2\mathrm{d}x\)

für das Volumen \(\) eines Körpers, der durch Rotation des Funktionsgraphen von \(f(x)\) um die \(x\)-Achse zwischen \(a\) und \(b\) entsteht.

Für die Oberfläche gibt es entsprechend die Formel

        \(M = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\mathrm{d}x\)

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Die verblüffende Eigenschaft ist, dass er ein endliches Volumen hat obwohl er unendlich lang ist.

Das ist eher nicht so verblüffend.

Für dich vielleicht nicht.

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Gabriels Horn (auch Torricellis Trompete) ist ein von Evangelista Torricelli beschriebener Körper, der eine unendliche Oberfläche, aber ein endliches Volumen besitzt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriels_Horn

Avatar von 26 k
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f ( x ) = 1 / x
A = f ( x ) ^2 * pi
A = 1/x^2 * pi
Stammfunktion
S = -1/x * pi
[ S ] zwischen 1 und ∞
( -1/(∞) - (-1/1 ) ) * pi
1 * pi
pi

Die Oberflächenberechnung mache ich nicht.

 

Avatar von 123 k 🚀

Die Eigenschaft nennt man uneigentliches
Integral.

Beispiel
Stell dir ein Würfel mit Kantenlänge 1 m vor.
Halbiere den Würfel horizontal.
Leg die entstandenen Quader nebeneinander.
Halbiere den 2. Quader wiederum.
Leg wieder nebeneinander.
Es entsteht eine Treppe
Mach das bis in alle Ewigkeit
Die entstande Treppe hat die Länge unendlich
und das Ursprungvolumen 1.

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