Eulersche Trompete Volumenberechnung

Question

Aufgabe:

Brauche hier nur eine Kontrollrechnung:

Es geht um die "Eulersche Trompete". Welches Volumen hat die unendlich lange Trompete, die durch Rotation des Graphen von e^-x um die x-Achse über dem Intervaall (0; unendlich) entsteht.

Mein Ansatz und Lösung:

pi * Integral von 0 bis unendlich (e^-x) dx

lim a-> unendlich   pi*Integral von 0 bis a (e^-x) dx

lim a-> unendlich   pi* [-e^-x] von 0 bis a

lim a-> unendlich   pi* [-e^-a -(-e^0)]

lim a-> unendlich   pi*[0+1]

lim a-> unendlich   pi

Answer 1

Aloha :)

$$V=\pi\int\limits_0^\infty\left(e^{-x}\right)^2\,dx=\pi\int\limits_0^\infty e^{-2x}\,dx=\pi\left[\frac{e^{-2x}}{-2}\right]_0^\infty=\pi\left(\frac{\lim\limits_{x\to\infty}(e^{-2x})}{-2}-\left(-\frac{e^{-2\cdot0}}{2}\right)\right)$$$$\phantom{V}=\pi\left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{\pi}{2}$$

Comments

Stimmt, habe das ^2 total ignoriert. Danke

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Du addierst ja Kreisflächen entlang der \(x\)-Achse auf. Der Radius einer jeden Kreisfläche ist der Funktionswert. Also ist die Fläche einer einzelnen Kreislfäche \(\pi\cdot[f(x)]^2\).

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Genau. Das stimmt :)