Aufgabe:
Seien \( (R,+, \cdot, 0,1) \) ein kommutativer Ring mit Eins und \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, A \in \mathscr{M}_{n}(R) \) und
$$ \begin{aligned} D_{A}: R^{n} \times \ldots \times R^{n} & \rightarrow R \\ D_{A}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) &:=d_{n}\left(A x_{1}, \ldots, A x_{n}\right) \end{aligned} $$
Zeigen Sie, dass \( D_{A} \) eine \( n \) -fache, alternierende Linearform ist.
Bemerkung: Damit und mit \( \operatorname{Satz} 4.2 .5(\mathrm{b}) \) und (c) kann man relativ schnell beweisen, dass die Formel \( \forall B \in \mathscr{M}_{n}(R): \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \) gilt.
Kann mir jemand hier zum Verständnis einen Beweis schreiben?
!
