Alternierende Multilinearformen Beweis

Question

Aufgabe:

Seien $(R,+, \cdot, 0,1)$ ein kommutativer Ring mit Eins und $n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, A \in \mathscr{M}_{n}(R)$ und

$$\begin{aligned} D_{A}: R^{n} \times \ldots \times R^{n} & \rightarrow R \\ D_{A}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) &:=d_{n}\left(A x_{1}, \ldots, A x_{n}\right) \end{aligned}$$

Zeigen Sie, dass $D_{A}$ eine $n$ -fache, alternierende Linearform ist.

Bemerkung: Damit und mit $\operatorname{Satz} 4.2 .5(\mathrm{b})$ und (c) kann man relativ schnell beweisen, dass die Formel $\forall B \in \mathscr{M}_{n}(R): \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$ gilt.

Kann mir jemand hier zum Verständnis einen Beweis schreiben? 

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