Untersuchung der Funktion f(x,y)=y^4 - x^3 + 2*x^2*y auf lokale Extrema

Question

Aufgabe:

Es sei f : R^2 -> R. f(x,y)=y^4 - x^3 +2*x^2*y.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Funktion auf lokale Extrema untersuchen?ich freue mich auf eure Hilfe. Ich habe den Ansatz mit Hess versucht, es kommt aber det Hess = 0 und folgt keine Aussagen

Answer 1

Einfach die Formeln im Mathe-Formelbuch anwenden

Funktion mit 2 voneinander unabhängigen Variablen

Z(x,y)=....

Bedingung:

Existens eines Extremwertes

fx=0 und fy=0  und (fxx*fyy-f²xy)>0

Maximum fxx<0  und fyy<0

Minimum fxx>0 und fyy>0

fx partiell abgeleitet nach x  hier y=konstant

fy partiell abgeleitet nach y hier x=konstant

fxx 2,te Ableitung nach x hier y=konstant

fyy 2.te Ableitung nach y hier x=konstant

Beispiel: z(x,y)=2*x²+3*x*y+2y^2+5*x-2*y+5

fx=4*x+3*y-5=0

fy=33*x+4y-2=0

LGS mit den Unbekannten x und y

Lösung x=2 und y=-1 Extremstelle bei xe=2 und ye=-1

wenn (fxx*fyy-f²xy)<0 dann ist kein Extremwert vorhanden

Answer 2

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei (-32/27 | -8/9).

Das ist hier

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E4+-+x%5E3+%2B2*x%5E2*y

(ziemlich weit unten) nachzulesen.