Berechne den Hochpunkt des Graphen und die durch ihn gehende Ursprungsgerade.

Question

Aufgabe:  Gegeben ist die Funktion f(x) = 3 sin (π/3 mal x) ; x∈  ⟨-1;4⟩. Berechne den Hochpunkt des Graphen und die durch ihn gehende Ursprungsgerade. Ermittle die Fläche, die durch die Gerade, die x-Achse und die Kurve begrenzt ist,

Problem/Ansatz:

Aus der Zeichung geht  das Interval (0¦3) hervor. Ist der Hochpunkt über die Ableitung f'(x)= π cos(π/3 mal x) zu ermitteln? Es sollte dabei H (3/2¦3) herauskommen.

Stimmt für das Integral die Stammfunktion F(x)= -9/π cos (π/3 mal x) ?…

(Ach, der Web-Unterricht...!)

Answer 1

Fläche zwischen 2 Graphen A=∫f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

y=f(x)=sin(x)

Nullstellen bei x=k*pi mit k=0,1,2,3..

Extrema bei x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3...

1.te Extrema pi/3*x=pi/2+0*pi=pi/2 → x1=3/2=1,5  → Maximum

2.te Extrema pi/3*x=pi/2+1*pi=3/2*pi → x2=3*3/2=9/2=4,5  → Minimum

Ursprungsgerade durch P1(0/0) und P2(1,5/3)

m=(y2-y1)/(x2-x1)=(3-0)/(1,5-0)=3/1,5=m

Gerade y=f(x)=2*x

A=∫(3*sin(pi/3*x) - (2*x)=∫(3*sin(pi/3*x)-2*x)*dx=3*∫sin(pi/3*x)*dx-2*∫x*dx

A(x)=-9/pi*cos(pi/3*x)-x²-x²+C

A=obere Grenze minus untere Grenze  xu=0 und xo=1,5

A(x)=(-9/pi*cos(pi/3*1,5)-1,5²) - (-9/pi*cos(pi/3*0)-0²)

A=0,6147 FE (Flächeneinheiten)

Hinweis:Soll die Fläche links neben der y-Achse berechnet werden,dann xu=-1 und xo=0

obere Begrenzung ist dann g(x)=2*x

untere Begrenzung ist dann f(x)=3*sin(pi/3*x)

A=∫(2*x) - (3*sin(pi/3*x)=∫(2*x-3*sin(pi/3*x)*dx

Den Rest schaffst du selber.

~plot~3*sin(pi/3*x);2*x;[-1,5|5|-5|5]];x=1,5;x=4~plot~

Comments

Vielen Dank, auch für die linke Fläche. Wichtig war der Rechenweg für die

1. Extrema: cos ( π\3*x) = cos (π/2)   mit x = 1,5.

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bei trigonometrischen Funktionen immer das Mathe-Formelbuch aufschlagen,was man privat in jeden Buchladen bekommt.

Da brauchst du nur abschreiben.

Mein Formelbuch hat davon 10 Seiten mit Formeln,die man alle gar nicht alle auswendiglernen kann..

siehe auch die Überlagerung von 2 harmonichen Schwingungen

y1=a1*sin(w*x+b1)  und y2=a2*sin(w*x+b2)

w1=w2=w 

Die Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) muß bei beiden Funktionen gleich sein

wenn w1≠w2  dann ergibt das eine periodische Zackenkurve

es gilt y=cos(x)=sin(x+pi/2)

usw.

Answer 2

Hallo

 sowohl Hochpunkt wie Integral sind richtig .

Gruß lul