Partielle Integration durchführen

Question

Aufgabe:

Bei dieser Aufgabe muss ich durch partielle Integration das Integral bestimmen.

 \( \int x^{2}(1+x)^{\frac{1}{2}} d x \)

Problem/Ansatzb

Den Ansatz habe ich schon auf dem Blatt erstellt

. Kann mir jemand beim Weiterrechnen helfen? Danke

Answer 1

Aloha :)

$$\int \underbrace{x^2}_{u}\underbrace{(1+x)^{\frac{1}{2}}}_{v'}dx=\underbrace{x^2}_{u}\underbrace{\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}}_{v}-\int\underbrace{2x}_{u'}\underbrace{\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}}_{v}dx$$$$\quad=\frac{2}{3}x^2(1+x)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{3}\int\underbrace{x}_{f}\underbrace{(1+x)^{\frac{3}{2}}}_{g'}dx$$$$\quad=\frac{2}{3}x^2(1+x)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{3}\left(\underbrace{x}_{f}\underbrace{\frac{2}{5}(1+x)^{\frac{5}{2}}}_{g}-\int\underbrace{1}_{f'}\underbrace{\frac{2}{5}(1+x)^{\frac{5}{2}}}_{g}dx\right)$$$$\quad=\frac{2}{3}x^2(1+x)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{15}\left(x(1+x)^{\frac{5}{2}}-\int(1+x)^\frac{5}{2}dx\right)$$$$\quad=\frac{2}{3}x^2(1+x)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{15}x(1+x)^{\frac{5}{2}}+\frac{8}{15}\cdot\frac{2}{7}(1+x)^{\frac{7}{2}}+c$$$$\quad=\frac{1}{105}(1+x)^\frac{3}{2}\left(70x^2-56x(1+x)+16(1+x)^2\right)+c$$$$\quad=\frac{1}{105}(1+x)^\frac{3}{2}\left(14x^2-56x+16(1+2x+x^2)\right)+c$$$$\quad=\frac{1}{105}(1+x)^\frac{3}{2}\left(30x^2-24x+16\right)+c$$$$\quad=\frac{2}{105}(1+x)^\frac{3}{2}\left(15x^2-12x+8\right)+c$$