Partielle Integration berechnen

Question

Aufgabe:

Wieder muss ich hier die partielle Integration durchführen.

\( \int \sin (\ln (x)) d x \)

Problem/Ansatz:ich habe einen Ansatz,ich komme hier aber nicht  weiter. Ich wäre um eine Antwort dankbar. 

Answer 1

Aloha :)

$$\int\sin(\ln x)dx=\int1\cdot\sin(\ln x)dx=x\sin(\ln x)-\int x\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} dx$$$$\quad=x\sin(\ln x)-\int 1\cdot\cos(\ln x)dx$$$$\quad=x\sin(\ln x)-\left(x\cos(\ln x)-\int x\cdot(-\sin(\ln x))\frac{1}{x}dx\right)$$$$\quad=x\sin(\ln x)-\left(x\cos(\ln x)+\int \sin(\ln x)dx\right)$$$$\quad=x\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)-\int \sin(\ln x)dx$$Addiert man auf beiden Seiten das Integral, so finden wir:

$$2\int \sin(\ln x)dx =x\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)$$$$\int \sin(\ln x)dx =\frac{x}{2}\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)+c$$

Answer 2

Alles richtig soweit, vereinfache noch das Integral am Ende deiner letzten Zeile zu

\(\int{cos(ln(x))dx}\) durch Kürzen und dann mache eine Nebenrechnung, in der du nochmal genau dasselbe mit dem neuen Integral machst.

Setze das Ergebnis dann in deine Gleichung ein und du wirst eine Gleichung erhalten, in der sowohl auf der rechten als auch der linken Seite das ursprünglich zu berechnende Integral steht. Bringe dieses Integral dann durch Addition auf eine Seite der Gleichung und teile durch den Faktor vor dem Integral:

$$\begin{aligned} \int f(x)dx&= g(x) - \int f(x)dx \qquad &&|+\int f(x)dx\\ 2\int f(x)dx&= g(x) &&|:2\\ \int f(x)dx&= \frac{1}{2}g(x) \\ \end{aligned}$$


Als Ergebnis solltest du \(\frac{1}{2}x\left(sin(ln(x))-cos(ln(x))\right)+c\) erhalten.