Eine lineare Abbildung von einem 2-dimensionalen in einen 3-dimensionalen Raum kann durch eine 3x2 Matrix dargestellt werden. Das werden wir im folgenden machen:
Die Vektoren (2,-1) und (-5,3) sind keine Vielfachen voneinander also linear unabhängig => Es existiert eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.
Des Weiteren ist die Dimension des Ursprungsraums 2, d.h. die lineare Abbildung ist sogar auf einer Basis angegeben => Es existiert genau eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.
Naiver Ansatz:
$$ f\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$
Wir setzen die gegebenen Werte ein:
$$ \begin{aligned} \implies &2a_{11} - a_{12} =1, \quad 2a_{21} - a_{22} =2, \quad 2a_{31} - a_{32} =3 \\ -&5a_{11} +3 a_{12} =-4, \quad -5a_{21} +3 a_{22} =0, \quad -5a_{31} +3 a_{32} =5 \quad \end{aligned} $$
Das ist ein LGS mit 6 Unbekannten und 6 Gleichungen, löse es.
Mit etwas mehr Methoden aus der LA:
Sei \( \mathcal{B} = \left(\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\right) \) und \( \mathcal{C}^* = \left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-4\\0\\5\end{pmatrix} \right) \) die Bildvektoren, diese sind linear unabhängig, wir ergänzen sie zu einer Basis des \( \mathbb{R}^3 \):
$$ \mathcal{C} = \left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-4\\0\\5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \right) $$
(eigentlich egal wie). Die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen ist jetzt sehr einfach, nämlich
$$ M_\mathcal{C} ^\mathcal{B}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0&1\\0&0 \end{pmatrix} $$
Jetzt transformieren wir die Matrix zu den Stardardbasen \( E_2 \) und \( E_3\):
$$ M_{E_3}^{E_2}(f) = T_{E_3}^\mathcal{C} M_\mathcal{C} ^\mathcal{B}(f) T_\mathcal{B}^{E_2} = T_{E_3}^\mathcal{C} M_\mathcal{C} ^\mathcal{B}(f) \left( T_{E_2}^\mathcal{B}\right)^{-1} $$
Die Transformationsmatrizen sind einfach die Basisvektoren in die Spalten geschrieben (unten steht die Standardbasis), also erhält man:
$$ M_{E_3}^{E_2}(f) = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1\\2 & 0 & 0\\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\0&1\\0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} $$
Jetzt noch ausrechnen.
