Beispiel Rechnung Integral

Question

Aufgabe:

L= \( \int\limits_{0}^{2} \) \( \sqrt{1+(-2x)^2} \) = 4,647 LE

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bitte denn Rechenweg aufzeigen, wie man auf dieses Ergebnis kommt ?

Ich habe mir überlegt, dass man zuerst die Wurzel quadieren muss und dann auflösen.

Comments

Es ist hoch 2 :)

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Was soll den (-2*x)*2 sein? Meinst du vielleicht (-2*x)²=4*x² ?

F(x)=∫Wurzel(1-4*x)*dx=∫(1-4*x)^1/2*dx=∫(1-4*x)^(0,5)*dx

Dann Intergation durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz*1/z´

z=1-4*x abgeleitet z´=dz/dx=-4 → dx=dz/-4

f(x)=∫z^(0,5)*dz*1/-4=-1/4*∫z^(0,5)*dz  den Rest schaffst du selber

Wurzel(1-4*x)  wenn 0=1-4*x → x=1/4 dann Radikand mit x>1/4 negativ !!

Answer 1

Kein einfaches Integral. Ich habe es mal versucht...

Answer 2

Vielleicht so: Faktor 1 davor und dann partielle Integration gibt

$$\int_{}^{}1*\sqrt{1+4x^2}dx $$$$= x+\sqrt{1+4x^2} - \int_{}^{}(x*\frac{1}{2*\sqrt{1+4x^2}}*8x)dx $$$$= x\sqrt{1+4x^2} - \int_{}^{}\frac{4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

Das letzte Int. kann man aufblasen:

$$=x\sqrt{1+4x^2} - \int_{}^{}\frac{4x^2+1-1}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

$$=x\sqrt{1+4x^2} - \int_{}^{}(\sqrt{4x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}})dx$$

$$=x\sqrt{1+4x^2} - \int_{}^{}(\sqrt{4x^2+1}+\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}})dx$$

Also hat man bisher erhalten:

$$ \int_{}^{}\sqrt{4x^2+1}dx=x\sqrt{1+4x^2} - \int_{}^{}\sqrt{4x^2+1}dx+ \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

Das gibt

$$2* \int_{}^{}\sqrt{4x^2+1}dx=x\sqrt{1+4x^2} + \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$

Jetzt brauchst du n ur was für das letzte Integral, das gibt

$$\frac{ln(\sqrt{1+4x^2}+2x)}{2}$$

Answer 3

Hallo,

mit dem Ansatz

\( \sqrt{1 + (2x)^2} = 2x + t \),

das heißt

\( t = \sqrt{1 + (2x)^2} - 2x \),

findet man die Substitution

\( 2x = \frac{1 - t^2}{2t} \),
\( dx = - \frac{1 + t^2}{4t^2} dt \).

Mit den neuen Grenzen \( t(0) = 1 \) und \( t(2) = \sqrt{17} - 4 \approx 0.123 \) erhält man

\( \int_0^2 \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \int_1^{0.123} \sqrt{1 + \left( \frac{1 - t^2}{2t} \right)^2 } dt \)
\( = \int_1^{0.123} \frac{1 + t^2}{2t} \left( - \frac{1 + t^2}{4t^2} \right) dt \)
\( = \frac{1}{8} \int_{0.123}^1 \left( \frac{1}{t^3} + \frac{2}{t} + t \right) dt \)
\( = \frac{1}{8}\left( \frac{1}{2 \cdot 0.123^2} - 2 \cdot \ln(0.123) - \frac{0.123^2}{2} \right) \)
\(\approx 4.65 \).

Grüße

Mister

Comments

Quelle (teilweise): https://www.youtube.com/watch?v=7lPb89DqhVY

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Kann man Youtube-Links auch einfügen, ohne dass das Video eingebettet wird?