Warum steht die Wurzel im Integral wieder vor Klammer?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittfläche des abgebildeten Raumflugkörpers! (Angaben in \( \mathrm{m} \) )

\( A_{\text {Schnit }}=A_{\text {Rumpf }}+ \) Aspitze
\( A_{R}=2 \int \limits_{-15}^{0} \frac{1}{2} \sqrt{1-2 x} \quad d x \)

\( =\int \limits_{-15}^{0}(1-2 x)^{\frac{1}{2}} d x=\left[-\frac{1}{3} \sqrt{(1-2 x)^{3}}\right]_{-15}^{0} \)

\( =-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3} \sqrt{31^{3}}\right) \)

\( \mathrm{A}_{R}=57,2\left(\mathrm{m}^{2}\right) \)

\(A_{Schnitt} =59,2 \mathrm{m}^{2} \)

 

Warum steht in dem integrierten Term wieder eine Wurzel  vor der Klammer

Problem/Ansatz

Die wurzel wurde ja zur Vereinfachung in 1/2 umgewandelt und wenn ich dann anfange zu integrieren wird aus der Potenz ja 3/2 und der Faktor vor der Klammer wird ja dann dadurch geteilt, so sowie auch durch die innere ableitung von daher erschließt sich das mir grade nicht so wirklich

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Gleichung für die raumflugkörperspitze?

Stichworte: funktionsgleichung

Text erkannt:

Wie entstand die Gleichung für die rumpspitze?

Aufgabe:

Answer 1

f(x) = (1 - 2·x)^(1/2)

F(x) = 2/3·1/(-2)·(1 - 2·x)^(3/2)

F(x) = -1/3·(1 - 2·x)^(3/2)

Jetzt kannst du den Bruch im Exponenten aber wieder zu einer Wurzel machen

F(x) = -1/3·√((1 - 2·x)^3)

Comments

O.k und warum steht im letzten Schritt - 1/3 vor der Klammer und dann nochmal in der Klammer ?

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Obere Grenze 0 eingesetzt minus (untere Grenze - 15 eingesetzt)

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Wo steht das in der Klammer. Kann da gerade nicht folgen.

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Achso du meinst oben in der Aufgabe.

Du setzt doch einmal 0 und einmal -15 in die Stammfunktion ein. Daher tauscht der Faktor -1/3 natürlich bei beiden Einsetzungen auf.

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In der fotografierten Lösung steht in der dritten Zeile von unten 1/3 vor und in der Klammer. Ich habe versucht, Ortwin zu erklären, wieso es zweimal da steht.

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∫ (-15 bis 0) f(x) dx

= F(0) - F(-15)

= (-1/3·√((1 - 2·0)^3)) - (-1/3·√((1 - 2·(-15))^3))

= (-1/3·√(1^3)) - (-1/3·√((1 + 30)^3))

= (-1/3) - (-1/3·√(31^3))

Ich denke so sollte das für ortwin nachvollziehbar sein.

Answer 2

Aus den 2/3 wird aber nur 1/3, weil durch den Faktor 2 der inneren Funktion geteilt werden muss (Stichwort: lineare Substutution).

Bevor du weiter nachfragst: Leite die angegebene Stammfunktion wieder ab, dann siehst du, dass man genau damit auf die Ausgangsfunktion kommt.

Answer 3

Hallo

 (1-2x)^1/2 integrier musst du wegen hoch  3/2 t durch 3/2 eilen , also mit 2/3 multiplizieren und dann noch durch die -2 der Ableitung von -2x teilen gibt -1/3. Klar? Wenn man Zweifel an einem Integral hat, auch um eigene Ergebnisse zu überprüfen sollte man das Ergebnis immer ableiten!

Gruß lul

Answer 4

Aloha :)

Die Rumpfspitze ist der kegelförmige Kopfteil. Der Punkt \((0|f(0))=(0|0,5)\) und der Punkt \(S(4|0)\) werden durch eine Gerade miteinnader verbunden:$$f(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}x+f(0)=\frac{0-0,5}{4-0}x+0,5=-\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}$$Diese Gleichung brauchst du aber eigentlich gar nicht. Rechts von der \(y\)-Achse hast du 2 gleich große Dreiecke, eins oberhalb und eins unterhalb der \(x\)-Achse. Die Breite des oberen Dreiecks ist \(x_s=4\) und seine Höhe ist \(f(0)=0,5\). Die Fläche des oberen Dreiecks ist daher$$A_\uparrow=\frac{1}{2}f(0)\cdot x_s=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 4=1$$Das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse und rechts von der \(y\)-Achse ist genauso groß, also \(A_\downarrow=A_\uparrow\). Die Gesamtfläche des des Kopfteils ist daher \(2\).