Darstellungsmatrix ohne Einheitsmatrix bestimmbar?

Question

Aufgabe:

Die Vektoren \( \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \) sind gegeben.Es sei zusätzlich eine lineare Abbildung f: R² -> R² eine lineare Abbildung so das gilt:

f (a₁ ) = \( \begin{pmatrix} 0\\5 \end{pmatrix} \) und f (a₂ ) = \( \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} \)

Bestimme die Darstellungsmatrix M (f) von f

Problem/Ansatz:

Normalerweise hat man bei der Darstellungsmatrix die Einheitsvektoren, die man an die Vektoren heranmultipliziert. Also \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)

Nun hat man hier allerdings \( \begin{pmatrix} 0\\5 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} \). Wie bring ich das auf die Einheitsform, falls nötig? Alles durch 5 teilen.

Außerdem stimmt die Reihenfolge nicht. Normalerweise müsste die Einheitsmatrix ja in dieser Form sein

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

bzw. mit den 5ern stattdessen halt

\( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \)

, wobei dann wiederum die Einheitsmatrix flöten geht.

Jetzt ist \( \begin{pmatrix} 0\\5 \end{pmatrix} \)  widerum als f (a₁) bezeichnet und \( \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} \) als f(a₂). Aber müsste nicht \( \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} \) zuerst kommen? Damit die Einheit hergestellt wird. Ist das eine Falle? Muss dann auch f (a₁) und f (a₂) in der Matrix verändert werden

Ansonsten würde mein Ansatz jetzt so aussehen

\( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)

= \( \begin{pmatrix} 5 * 3 + 0 * 1 & 5 * -2 + 0 * 1 \\ 0 * -3 + 0 * 1 & 0 * -2 + 5 * 1 \end{pmatrix} \)

=\( \begin{pmatrix} 15 & -10 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \)

Mit freundlichem Abstand,

Marceline, The Vampire Queen

Answer 1

Aloha :)

Du kennst aus der Aufgabenstellung zwei Transformationen, die die Matrix \(\mathbf M\) verursacht:$$\left(\begin{array}{r}0\\5\end{array}\right)=\mathbf M\cdot\left(\begin{array}{r}-2\\1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}5\\0\end{array}\right)=\mathbf M\cdot\left(\begin{array}{r}3\\1\end{array}\right)$$Beide kannst du in einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$\left(\begin{array}{r}0 & 5\\5 & 0\end{array}\right)=\mathbf M\cdot\left(\begin{array}{r}-2 & 3\\1 & 1\end{array}\right)$$Die Abbildungsmatrix ist daher:$$\mathbf M=\left(\begin{array}{r}0 & 5\\5 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-2 & 3\\1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{r}0 & 5\\5 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-0,2 & 0,6\\0,2 & 0,4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\-1 & 3\end{array}\right)$$

Comments

Danke für die Antwort, Tschakabumba. Hab jetzt erst das Prinzip von Abbildungsmatrix richtig verstanden. Eine Frage noch. Angenommen a1 wäre \( \begin{pmatrix} 1\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix} \) und das zugehörige f(a1) wäre \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) , sowie a2 \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1 \end{pmatrix} \) und f(a2) = \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)

Dann wäre f(a1) = M (a1)

f = ( \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)) = M  \( \begin{pmatrix} 1\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix} \)

und (f(a2) = M (a2)

f ( \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) ) = M \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1 \end{pmatrix} \)

Zusammengefasst

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) = M * Die Inverse zu \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \)

also nach Adam Ries und Eva Klein:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) * \( \frac{4}{3} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \)

Daraus entstehe dann ja die Matrix

\( \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \end{pmatrix} \)

Die Musterlösung sagt nun aber, die Abbildungsmatrix wäre:

\( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \)

Dabei hab ich's doch genau so gemacht, wie du gerade vorgerechnet hast. Marcy ist verwirrt. :(

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Marcy hat völlig richtig gerechnet !!!

$$\left(\begin{array}{r}\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} & \frac{4}{3}\end{array}\right)\binom{1}{-0,5}=\binom{1}{0}\quad\checkmark$$$$\left(\begin{array}{r}\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} & \frac{4}{3}\end{array}\right)\binom{-0,5}{1}=\binom{0}{1}\quad\checkmark$$

Die Musterlösung ist falsch !!!

$$\left(\begin{array}{r}1 & -0,5\\-0,5 & 1\end{array}\right)\binom{1}{-0,5}=\binom{1,25}{-1}\ne\binom{1}{0}$$$$\left(\begin{array}{r}1 & -0,5\\-0,5 & 1\end{array}\right)\binom{-0,5}{1}=\binom{-1}{1,25}\ne\binom{0}{1}$$

Answer 2

Hallo

du musst aus den Vektoren a1 und a2 die 2 Standardeinheitsvektoren linearkombinieren, ihre Bilder sind dann die gleichen Linearkombinationen der Bilder also etwa f(e1)=f(a1)+f(a2) da a1+a2=e1

 dann sind die Spalten der gesuchten Matrix die Bilder von e1 und e2. Was du gemacht hast verstehe ich nicht

Gruß lul

Comments

Danke lul,

ok, als Linearkombination darstellen ist ja nicht schwer....

\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) = 0 * \( \begin{pmatrix} 0\\5 \end{pmatrix} \) + \( \frac{1}{5} \) * \( \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = \frac{1}{5} \( \begin{pmatrix} 0\\5 \end{pmatrix} \)  + 0 * \( \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} \)

.. die restliche Aufgabe zu verstehen hingegen sehr!

Wie soll ich damit jetzt die Abbildungsmatrik generieren? Also wie komme ich an die Bilder von e1 und e2. Du schreibst, die Bilder sind die Linearkombinationen von f (a₁) und f(a₂), aber die hab ich doch gerade zu den Einheitsvektoren kombiniert.

Und wie kommen die beiden anderen Vektoren dann ins Spiel?

Marcy versteht nichts :(

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Hallo

 nein, du musst aus Vektoren a1=(-2,1)  und a2=(3,1) deren Bilder du kennst die  Einheitsvektoren herstellen, dann deren Bilder, so ist etwa e1=(1,0)=a1+a2 deshalb ist das Bild von (1,0) f(a1)+f(a2)=(5,5) das ist die erste Spalte deiner Matrix. mit der zweiten spalte bist du jetzt dran!

du bleibst immer wieder an den Bildern, die zufällig vielfache der Einheitsvektoren sind hängen, aber das sind die Bilder von a1 und a2 und nur dazu da linear kombiniert zu werden um die Bilder von e1 und e2 zu finden.

 Wenn du M hast muss natürlich auch M*a1= (0,5)sein

(alle Vektoren, sind natürlich eigentlich Spalten)

lul

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e1=(1,0)=a1+a2

\( \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)