Bestimmen Sie die Tangente an C im Punkt (1, 1, 1) znd zeigen Sie, dass phi eine globale Parameterdarstellung von C ist.

Question

Aufgabe:

Die Funktionen f , g : ℝ³ → ℝ seien definiert durch
f (x, y, z) := x² + xy − y − z, g(x, y, z) := 2x² + 3xy − 2y − 3z.
Sei C := {(x, y, z) ∈ ℝ³ | f (x, y, z) = g(x, y, z) = 0} eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ³

(a) Man zeige, dass
φ : ℝ→ ℝ³ ,
φ(t) = (t, t² , t³ )
eine globale Parameterdarstellung von C ist.

(b) Bestimmen Sie die Tangente an C im Punkt (1, 1, 1)

Answer 1

Hallo,

Zu a)

sei \(C_1=\{(t,t^2,t^3) : t\in \mathbb{R}\}\). Beachte, dass \(f(t,t^2,t^3)=g(t,t^2,t^3)=0\) für alle \(t\in \mathbb{R}\). Das heißt es gilt \(C_1\subset C\).

Um \(C\subset C_1\), muss man erkennen, dass$$ 3f(x,y,z)-g(x,y,z)=x^2-y \\  2f(x,y,z)-g(x,y,z)=-xy+z$$Insgesamt bedeutet das, dass für jeden Punkt \((x,y,z)\in C\) nun \(y=x^2\) und \(z=xy=x^3\) gelten muss, der Punkt hat also die Form \((x,x^2,x^3\)) und liegt somit in \(C_1\). Wir haben also \(C=C_1\).

Die Gradienten \(\nabla f(x,y,z)=(2x+y,x-1,-1)^T\) und \(\nabla g(x,y,z)=(4x+4y,3x-2,-3)^T\) sind überdies in jedem Punkt \(x,y,z\) linear unabhängig und \(C\) damit eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit vom \(\mathbb{R}^3\)

Zu (b)

Du weißt nun, dass \(\varphi :\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3, (t,t^2,t^3)\) die Menge \(C\) global parametrisiert. Der Tangentialvektor ist gegeben durch \(v=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}(1,1,1)=(1,2,3)\).