Globale Extrema im Mehrdimensionalen? Q:=[0,3]^2. f:Q->R, f(x,y):= x^3 -3xy^2 + 24y.

Question

Teil a) hab ich bereits gelöst und rausbekommen, dass die einzige kritische Stelle im inneren (2,2) ist.

Bei der b) müsste man ja die randwerte betrachten, aber wie genau mach ich das bei dieser Aufgabe?

Answer 1

Der Definitionsbereich ist ein Quadrat mit Seitenlänge 3.

Q:=[0,3]^2. f:Q->R,  f(x,y):= x^3 -3xy^2 + 24y.

Du hast 4 Ränder.

x = 0 und y geht von 0 und 3. 

 f(0,y)= 24y.    Das ist maximal, bei y=3. f(0,3) = 24*3 = 72.

y = 0 und x geht von 0 und 3. 

 f(x,0)= x^3 . ist Maximal bei x = 3. f(3,0) = 27. 

x = 3 und y geht von 0 und 3. 

 f(3,y)=   27 - 3*3y^2 + 24y

y = 3 und x geht von 0 und 3. 

 f(x,3) = x^3 -3x*9 + 24*3.

In den beiden blauen Funktionen setzt du noch die Ränder 0 und 3 ein. Ausserdem kannst du nach der Variablen ableiten und schauen, ob die Ableitung (x bzw. y) zwischen 0 und 3 eine Nullstelle hat. Rechne in einem solchen Fall noch den Funktionswert aus und schaue, ob du so noch zu einem Wert grösser als 72 kommst. 

Beim globalen Minimum analog. 

Ich nehme an, das schaffst du selbst. 

Comments

Nachtrag: Wegen a)

 "Teil a) hab ich bereits gelöst und rausbekommen, dass die einzige kritische Stelle im inneren (2,2) ist."

Rechne zur Sicherheit auch noch f(2,2) aus. Könnte ja sein, dass dort sogar ein globales Extremum liegt. 

Answer 2

Setze halt geeignete Werte für x oder für y ein, so dass f auf den Rand von Q eingeschränkt wird. Das sollte nicht weiter kompliziert sein, da Q ein achsenparalleles Quadrat ist.

Answer 3

Rand von (0;0) bis ( 3;0 ) gibt Punkte ( x;0 )

eingesetzt x^3 also auf diesem Rand höchster Wert bei (3;0) mit  27

Rand von (3;0) bis ( 3;3 ) gibt Punkte ( 3;y )
eingesetzt -9y^2 + 24y + 27  also auf diesem Rand höchster

Wert bei (3; 4/3 ) mit 43

Rand von (3;3) bis ( 0;3 ) gibt Punkte ( x;3 )
eingesetzt x^3 - 27x + 72   also auf diesem Rand höchster

Wert bei (0; 3 ) mit 72

Rand von (0;3) bis ( 0;0 ) gibt Punkte ( 0;y )
eingesetzt 24y    also auf diesem Rand höchster

Wert bei (0; 3 ) mit 72

Also größter Randwert 72 bei ( 0;3) .

Minimum entsprechned.