Das totale Differenzial aus f(w,L,R)=arctan(w*L/R)

Question

$$ f ( \omega , L , R ) = \arctan \left( \frac { \omega ^ { * } L } { R } \right) $$

Nachdem ich nach den drei Variablen differenziert habe, bekomme ich folgendes heraus:

$$ d f ( \omega , L , R ) = \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { \omega L } { R } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { \omega L } { R } \right) \frac { L } { R } + \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { \omega L } { R } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { \omega L } { R } \right) \frac { \omega } { R } + \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { \omega L } { R } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { \omega L } { R } \right) \left( - \frac { \omega L } { 2 R } \right) $$

Mein Endergebnis:

$$ \frac { 1 } { 1 + \omega } + \frac { 1 } { 1 + L } - \frac { ( \omega L ) ^ { 2 } R } { 2 \left( 1 + ( \omega L ) ^2 \right) } $$

Ist das richtig?

Comments

Sehe gerade, dass am Ende nicht 2R, sondern R^2 stehen muss. Also ... -(wL/R^2). Ist der rest richtig?

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Woher bekommst du immer den Faktor (w*L/R) meiner Meinung nach ist der nicht richtig.

Answer 1

Das ist so nicht richtig!
Beim totalen Differential einer Funktion von (zum Beispiel) zwei Variablen u und v ist es zwingend notwendig, dass im Endergebnis die beiden Differentiale du und dv noch auftreten.

Die richtige Formel ist nämlich

$$ d f ( u , v ) = \partial _ { u } f \cdot d u + \partial _ { v } f \cdot d v $$

Damit ist die meiner Meinung nach endgültige Lösung der Aufgabe:

$$ \begin{aligned} d f ( \omega , L , R ) & = \frac { L R } { L ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + R ^ { 2 } } d \omega + \frac { \omega R } { L ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + R ^ { 2 } } d L - \frac { L \omega } { L ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + R ^ { 2 } } d R \\ d f ( \omega , L , R ) & = \frac { L R \cdot d \omega + \omega R \cdot d L - L \omega \cdot d R } { L ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + R ^ { 2 } } \end{aligned} $$

Answer 2

Meiner Meinung nach sehen die 3 Ableitungen wie folgt aus

f(w, L, R) = arctan(w·L/R)

df/dw = 1/(1+(w·L/R)^2)·(L/R) = L·R/(L^2·w^2 + R^2)
df/dL = 1/(1+(w·L/R)^2)·(w/R) = R·w/(L^2·w^2 + R^2)
df/dR = 1/(1+(w·L/R)^2)·(-w·L/R^2) = - L·w/(L^2·w^2 + R^2)

Addiere ich die jetzt alle zusammen erhalte ich

df(w, L, R) = (L·R·dw + R·w·dL - L·w·dR)/(L^2·w^2 + R^2)

Ich habe hier die fehlenden Differenziale aufgrund der Berichtigung von Julian Mi eingefügt.

Comments

Da es wohl Probleme bei der Auflösung von Doppelbrüchen gab, hier noch mal eine Kurze Anleitung zur Umformung

1/(1+(w·L/R)^2)·(L/R)

hier hat man das ja mit einem Doppelbruch zu tun. Daher bringt man den Nenner auf einen Bruch. Dann kann man den Term auf einen Bruch vereinfachen.

1/(R²/R² + w²·L²/R²)·(L/R)

1/((R² + w²·L²)/R²)·(L/R)

R²/(R² + w²·L²)·(L/R)

L·R/(R² + w²·L²)

L·R/(L²·w² + R²)

Die anderen Doppelbrüche werden exakt nach der Gleichen Methode umgeformt.