totale Differenzial von z=f(x,y)=\sqrt { xy }

Question

Ich soll für diese Funktion das totale Differenzial dz ermitteln.

$$ z=f(x,y)=\sqrt{ xy } $$  also z=f(x,y)= Wurzel aus x mal y, also x mal y unter der Wurzel

aus dem Ergebnis soll ich dann die prozentuale Änderung von z wenn x um 5% erhöht wird und y um 3% vermindert wird ermitteln. Das heiß also wenn Delta x=dx= 0.05x und Delta y=dy= -0.03x.

Ich danke herzlich im Voraus für richtige Ergebnisse aber es wäre auch hilfreich wenn eine Erklärung dabei stehen würde. Ich möchte mich mit dem Thema richtig befassen und üben :) Begriffe, Regeln etc

Comments

Ist kein Punkt gegeben, z.B: Bilde das totale Differential im Punkt (0,0)?

Dann berechne doch erstmal die partiellen Ableitungen !!

Answer 1

Die partiellen Ableitungen sind

nach x        f '_x  =  y / ( 2*√(xy) )  und

 nach y      f '_x  =  x / ( 2*√(xy) )

Also ist das tot. Differential

df  = f'_x *dx + f'_y*dy

  =  y / ( 2*√(xy) ) * dx  +  x / ( 2*√(xy) ) *dy

Für die gegebenen Änderungen also.

 dz = ( y / ( 2*√(xy) ) ) * 0,05x  +  ( x / ( 2*√(xy) )) *0,03y

=  0,08xy / ( 2*√(xy) )

  =  0,04xy / √(xy)

=  0,04 √(xy)

= 0,04 f(x,y)  = 0,04z

Also ändert sich z um 4%.