Wie bestimme ich die Koordinaten der kritischen Punkte? und wie bestimme ich die Art der Extrema?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe die folgende Funktion und soll die Koordinaten der kritischen Punkte und jeweils die Krümmung (konvex oder konkav) bestimmen und daraus die Art der Extrema bestimmen.

f(x)=((x-1)^2)/(x+1)

Problem/Ansatz:

Über einen Lösungsweg würde ich mich freuen

Answer 1

Hallo

 warum differenzierst du die Funktion nicht einfach 2 mal dann f'=0 und an den Stellen das Vorzeichen von f'' bestimmen,

Versuchs erst selbst, sonst gibt es als Hilfe hier im Forum rechts am Rand den "Rechenfreund"

 dort gib f(x)=((x-1)^(2))/(x+1) ein und er spuckt die Ableitungen aus.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Wir bilden zunächst die nötigen Ableitungen:$$f(x)=\frac{(x-1)^2}{x+1}$$$$f'(x)=\frac{2(x-1)(x+1)-(x-1)^2}{(x+1)^2}=\frac{2x^2-2-(x^2-2x+1)}{(x+1)^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}$$$$f''(x)=\frac{(2x+2)(x+1)^2-(x^2+2x-3)2(x+1)}{(x+1)^4}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{(2x+2)(x+1)-(2x^2+4x-6)}{(x+1)^3}=\frac{8}{(x+1)^3}$$

Kritische Punkte sind dort, wo die erste Ableitung beschwindet:$$0\stackrel{!}{=}f'(x)=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}$$Wir finden 2 kritische Punkte:$$x_1=1\quad;\quad x_2=-3$$

Das Krümmungsverhalten bestimmen wir durch Einsetzen der kritischen Punkte in die zweite Ableitung:$$f''(1)=\frac{8}{2^3}=1>0\quad\Rightarrow\quad\text{linksgekrümmt}\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}$$$$f''(-3)=\frac{8}{(-2)^3}=-1<0\quad\Rightarrow\quad\text{rechtsgekrümmt}\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$

~plot~ (x-1)^2/(x+1) ; {1|0} ; {-3|-8} ;[[-5|5|-20|20]] ~plot~