Aufgabe zu Stochastik: Zufallsvariablen, Erwartungswerte, Wahrscheinlichkeitsräume

Question

Es werden drei Würfel geworfen, wobei einer 6, einer 12 und einer
20 Seiten hat, die jeweils beginnend mit 1 durchnummeriert sind. Jede Seite eines
Würfels hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden.

(1) Modellieren Sie dieses Experiment als Produktwahrscheinlichkeitsraum.

(2) Definieren Sie ein Zufallsvariable, die als Ergebnis das Produkt der Augenzahl des dritten Würfels mit der Summe der Augenzahlen der ersten beiden
Würfel ergibt.

(3) Berechnen Sie den Erwartungswert der in (2) definierten Zufallsvariable.

Falls jemand mir hier weiterhelfen kann, wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

$$\text{(1)}\quad\Omega=\{1,\ldots,6\}\times\{1,\ldots,12\}\times\{1,\ldots,20\}$$$$\text{(2)}\quad X=(x_1+x_2)\cdot x_3\quad;\quad (x_1,x_2,x_3)\in\Omega$$

(3) Wir bestimmen zunächst die einzelnen Erwartungswerte:$$\left<X_1\right>=\frac{1}{6}\sum\limits_{k=1}^6=\frac{1}{6}\cdot\frac{6^2+6}{2}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$$$\left<X_2\right>=\frac{1}{12}\sum\limits_{k=1}^{12}=\frac{1}{12}\cdot\frac{12^2+12}{2}=\frac{78}{12}=\frac{13}{2}$$$$\left<X_3\right>=\frac{1}{20}\sum\limits_{k=1}^{20}=\frac{1}{20}\cdot\frac{20^2+20}{2}=\frac{210}{20}=\frac{21}{2}$$Da die Einzelereignisse \(X_1,X_2,X_3\) voneinander unabhängig sind, gilt:$$\left<X\right>=\left<(X_1+X_2)\cdot X_3\right>=\left<X_1+X_2\right>\cdot\left<X_3\right>$$Da der Erwartungswert linear ist, gilt weiter:$$\left<X\right>=\left(\left<X_1\right>+\left<X_2\right>\right)\cdot\left<X_3\right>=\left(\frac{7}{2}+\frac{13}{2}\right)\cdot\frac{21}{2}=10\cdot\frac{21}{2}=105$$