Zeige, dass eine beschränkte Folge unendlich viele konvergente Teilfolgen besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass eine beschränkte Folge unendlich viele konvergente Teilfolgen besitzt.

Problem/Ansatz:

Der Beweis dieser Aussage fällt mir etwas schwer. Der Satz von Bolzano-Weierstrass sagt ja aus, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Wie kann ich diese Aussage nun auf unendlich viele Teilfolgen erweitern um den Beweis zu führen?

Stehe leider etwas auf dem Schlauch und würde mich über Hilfe sehr freuen.

Comments

@napkin: Ich habe das hier auch schon versucht zu zeigen. https://www.mathelounge.de/732447/teilfolgen-von-beschrankten-folgen Freue mich über Feedback.

Answer 1

Hallo

 nimm jedes zweite, jedes dritte usw Folgenglied, oder je 2, eins auslassen usw. wenn du irgendeine Teilfolge ausser der ganzen nimmst kannst du immer noch ein Glied zufügen, also nimm an es gibt nur endlich viele, dann...

Gruß lul

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Wenn ich das richtig verstehe, sagt der Satz von Bolzano-Weierstrass aus, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Durch Weglassen der ersten Glieder dieser Teilfolge müsste man dann ja unendlich viele konvergente Teilfolgen erhalten. Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich das formal richtig aufschreiben kann. Habe Probleme mit Formalismen.

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Hallo

 mach einen Widerspruchsbeweis, angenommen es gibt endlich viele also n , dann lass  ein Glied  a_k (nicht unbedingt den Anfang) in jeder der Folge weg dann hast du 2n  (nicht unbedingt den Anfang), oder lass in jeder jedes zweite weg, also  ... zu je n folgen kann man eine n+1 te finden.

Gruß lul