Bestimmen Sie für G = S4 die Bahnen dieser Operation und die Ordnung der Stabilisatoren |Stab(h)| für alle h ∈ S4.

Question

Sei G eine Gruppe. Betrachten Sie die Operation durch Konjugation von G auf sich selbst:

φ : G x G → G, (g , x) → φ (g , x) := g . x := g . x . g^-1

Eine Konjugationsklasse ist eine Bahn unter dieser Operation.

(a) Bestimmen Sie für G = S₄ die Bahnen dieser Operation und die Ordnung der Stabilisatoren |Stab(h)| für alle h ∈ S₄.

(b) Eine Partition von n ∈ N ist eine Darstellung der Form: n = n₁ + n₂ + · · · + n_k für n_i ∈ N mit: n₁ ≥ n₂ ≥ · · · ≥ n_k ≥ 1.

Zeigen Sie: Es gibt eine Bijektion zwischen den Konjugationsklassen von S_n und den Partitionen von n.