Der Grund sind überabzählbare Ergebnisräume.
Abzählbare Ergebnisräume. Sei Ω abzählbar und o: ℕ → Ω bijektiv. Dann kann man eine Abbildung
p: Ω → [0,1]
definieren mit
\(\sum_{i=1}^\infty\) p(o(i)) = 1.
Diese Gleichung kann man auch
∑α∈Ω p(α) = 1
schreiben, weil die Konvergenz und der Grenzwert obiger Reihe aufgrund der absoluten Konvergenz nicht von der Reihenfolge o der Summanden abhängt.
Die Abbildung p kann man nun zur Definition der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen heranziehen:
Sei E ⊂ Ω. Dann ist
P(E) := ∑α∈E p(α).
Die Abbildung P erfüllt dann die Eigenschaften, die man von Wahrscheinlichkeitsverteilungen erwartet.
Überabzählbare Ergebnisräume. Der Ansatz, den man bei abzählbaren Ergebnisräumen geht, funktioniert nicht mehr, wenn Ω überabzählbar ist. Man könnte dann p zwar als summierbare Familie auffassen und so auch für überabzählbare Ω der Gleichung
∑α∈Ω p(α) = 1
einen Sinn geben. Aber dann muss der Träger abzählbar sein, dass heißt p(α)≠0 gilt doch wieder nur für abzählbar viele α ∈ Ω. Und dann stellt sich die Frage, wozu Ω überhaupt überabzählbar gewählt wurde.
Stattdessen wird gerade bei überabzählbaren Ergebnisräumen den Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, nicht den Ergebnissen. Wegen der Unlösbarkeit des klassischen Maßproblems ist man übrigens auch in der Wahl eingeschränkt, was Ereignisse sind.
