Ist diese Reihe mit Wurzel und hoch k konvergent?

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{( 1/4 + \sqrt{k^2+k} - k )^k} \)

Comments

Was bedeuten die roten Slashes?

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Ich habe die Aufgabe nochmal bearbeitet

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Erweitere (√.... -k)) zur 3. binom. Formel und kürze mit k.

Die Klammer geht gegen 3/4.

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Vom Duplikat:

Titel: Untersuchung von Reihe auf Konvergenz

Stichworte: konvergenz

kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen..Es geht um die Untersuchung von Reihe auf Konvergenz..

∑(1/4 - k + √k+k²)^{k
von k=1 bis ∞
.} 

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Passt die Klammerung in der Originalfrage und im Kommentar zur vorhandenen Antwort?

@Jean: Wie lang ist das Wurzelzeichen bei dir?

∑(1/4 - k + √k+k^2)^k

Und wie ist der Bruchstrich zu lesen?

Du hast nur 4 unter dem Bruchstrich und nur k unter der Wurzel.

Answer 1

Hallo,

es gilt$$\left | \sum\limits_{k=1}^{\infty}{( 1/4 + \sqrt{k^2+k} - k )^k} \right |\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^k=3$$ da \( \sqrt{k^2+k} - k\to \frac{1}{2}\) für \(k\to \infty\). Für letztere Behauptung, erweitere \(\sqrt{k^2+k} -k\) mit dem Konjugierten.

Comments

Sicher, dass Jeans Frage ein Duplikat ist?

Meinst du "konjugiert komplex" ?

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Ich weiß nicht, warum die Frage als Duplikat angezigt wurde, aber meine Frage bezieht sich auf die Konvergenz einer Reihe.

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Mitglied rc war der Meinung, die Frage von Jean hier bereits beantwortet zu haben und hat darum seine Frage hierhin verschieben lassen. Bitte kontrolliert das.

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Ich verstehe. Die Aufgabenstellung von Jean ist die gleiche Aufgabe, die ich hochgestellt habe.

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@Lu

Jean Manns Frage ist identisch mit dieser.

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So wie ich das sehe, habe sie das Majorantenkriterium verwendet, ich verstehe nur nicht, wie sie das in der Klammer abgeschätzt haben, damitsie auf das Ergebnis kommen.

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Hast du den Grenzwert \(\sqrt{k^2+k} - k\to \frac{1}{2}\) nachvollziehen können?

Der größtmögliche Wert, den \(\sqrt{k^2+k} - k\) annehmen kann ist also 1/2.$$\left | \sum\limits_{k=1}^{\infty}{( 1/4 + \underbrace{\sqrt{k^2+k} - k}_{\leq \frac{1}{2}})^k} \right |\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(1/4+1/2)^k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{(3/4)^k}$$

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Ah, ich habe es jetzt verstandne, vielen Dank!