Prädikatenlogik Wahrheitswerte

Question

Aufgabe:

(x)∀x(Px→(∃yRyx∧∃yRxy))

( xi)∀x(Px→∃y(Ryx∧Rxy))

Jene Aufgaben aus der Prädikatenlogik müssen auf ihren Wahrheitswert geprüft werden.

Problem/Ansatz:

Handelt es sich bei diesen beiden Formeln nicht um ein und dieselbe Aussage?  Oder kann (meine einzige sonstige Erklärung) dadurch, dass bei Aufgabe (x) zwei Quantifier (∃yRyx∧∃yRxy) gegeben sind, die Wert, den man bei y einsetzt (natürlich innerhalb der Domain) in derselben Formel variieren?

Die eigentliche Frage ist also:

Ist das beides derselbe Term, nur in unterschiedlicher Schreibweise?

Können gleiche Variablen bezüglich verschiedener Quantifier in einem Term andere Werte annehmen?

Comments

$$ \exists x : x=5 \land \exists x : x =7 $$

ist eine wahre Aussage

$$ \exists x : (x=5 \land x=7) $$

ist falsch.

Answer 1

Handelt es sich bei diesen beiden Formeln nicht um ein und dieselbe Aussage?

Es handelt sich syntaktisch betrachtet um unterschiedliche Formeln.

Ob sie semantisch gleichbedeutend sind, kann man aus der syntaktischen Betrachtung nicht ohne Weiteres erschließen.

Ist das beides derselbe Term

Zunächst ein mal handelt es sich nicht um Terme, sondern um Formeln. Bei den Formeln handelt es sich genauer gesagt um Sätze, weil die Formeln keine freien Variablen haben.

Können gleiche Variablen bezüglich verschiedener Quantifier in einem Term andere Werte annehmen?

Ja.

Es gibt ein y, so dass y < 5 ist und es gibt ein y, so dass y > 5 ist.

Es gibt aber kein y, so dass y < 5 und y > 5 ist.